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1、高三数学概率抽样方法与总体估计,一、三种常用抽样方法,1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.实现简单随机抽样,常用抽签法和随机数表法.,(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.,适用范围:总体的个体数不多时.,优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.,(2
2、)随机数表法:第一步,将总体中的个体编号(要保证位数一致);第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码.,使用随机数表法时注意:当随机地选定开始读的数后,读数的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等.在读数过程中,得到一串数字号码,在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后,其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码.,用简单随机抽样,从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为.,2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,
3、得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样.,系统抽样的步骤可概括为:,(1)将总体中的个体编号;,(2)将整个的编号进行分段.为将整个的编号进行分段,要确定分段的间隔k.当是整数时,k=;当不是整数时,通过从总体中剔除一些 个体使剩下的个体数N能被n整除,这时k=;,(3)确定起始的个体编号.在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;,(4)抽取样本.按照先确定的规则(常将l加上间隔k)抽取样本:l,l+k,l+2k,l+(n-1)k.,3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层.,(1
4、)分层抽样是等概率抽样,它也是公平的.用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时,在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,都等于;,(2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的,由于它充分利用了已知信息,因此利用它获取的样本更具有代表性,在实践中应用更为广泛.,二、总体分布的估计,1.用样本的频率分布估计总体分布,(1)样本的频率分布直方图,作频率分布直方图的步骤:,【温馨提示】因为频率分布直方图中横轴表示“组距”,纵轴表示“频率/组距”,所以“小长方形的面积=组距频率/组距=频率”,各小长方形的面积之和等于1.,(2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端
5、的中点,就得频率分布折线图.,(3)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.,(4)茎叶图,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.,茎叶图表示数据有两个突出的优点:,其一是统计图上没有原始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其二是在比赛时随时记录,方便记录与表示.,在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,但当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便了.,2.用样本的数字特征估计总体的数字特征,(1)平均数:一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数;它是频率分布直方图的“重心”.,(
6、2)中位数:如果将一组数据按从小到大或从大到小的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在中间的一个数就是这组数据的中位数;当数据有偶数个时,处在中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数.因此中位数不一定是样本数据中的数.在频率分布直方图中中位数左右两侧直方图的面积应该相等,由此在图中我们可以估计其近似值.,(3)众数:在样本数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.若一组样本数据中有两个或几个数据出现的最多且次数一样,这些数据都是这组数据的众数;若一组数据中每个数据出现的一样多,则认为这组数据没有众数.在频率分布直方图中最高小矩形的中点所对应,的数据即为这组数据的众数.,(4)方差:一组数据x1,
7、x2,xn,则这组数据的方差为s2=(xi-)2,其中= xi.用它来衡量数据围绕平均数的波动情况.,(5)标准差:是方差的算术平方根s= .它比方差多开一次方, 它的度量单位与样本数据的相同,有时用它更加方便.,1.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是(),(A)3.5.(B)-3.(C)3.(D)-0.5.,【答案】B,【解析】少输入90,=3,平均数少3,求出的平均数减去实际的平均 数等于-3.,1.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别:,2.不放回抽样和放回抽样:在抽样中,如果每次抽出个体后不再将它放回总体,称这样的抽样为不放回抽样;如果每次抽出个体后再将它放回总体,称这样的抽样为放回抽样.,简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样.,3.样本频率分布直方图是考查热点,需注意频率分布直方图中横轴表示“组距”,纵轴表示“频率/组距”,所以“小长方形的面积=组距(频率/组距)=频率”,各小长方形的面积之和等于1.,对于平均数、众数、中位数、方差等要会求,并能理解其意义.,
