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1、2020/8/6,高等数学课件,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线及其方程,第八章,第四节 平面与直线,2020/8/6,高等数学课件,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,平面的一般方程是不唯一的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.可以记为：,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数
2、学课件,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,特别
3、有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所
4、求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,3. 平面束方程,通过一直线的所有平面的集合叫做平面束。,建立一个一次方程：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设直线L的方程,其中为任意常数。,2020/8/6,高等数学课件,例4. 求通过直线,解: 将,化为一般式：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且平行于直线,的平面方程。,因为平面过直线,故平面的方程可以设为,其法矢量,其中待定常数.,2020/8/6,高等数学课件,直线,的方向矢量为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故有,，则有,解得=-
5、8,于是平面的方程为：,即,因为平面与 平行,2020/8/6,高等数学课件,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,解：,转换L：,平面：,与直线L:,练习1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的交点为P，求平面上过点P且垂直于直线L的直线方,程。,2020/
6、8/6,高等数学课件,求交点P：,：,L:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求过点P且垂直L的平面1 ：,联立，1得所求直线：,2020/8/6,高等数学课件,解：,改写L：,在过直线,的所有平面中找出,练习2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个平面，使它与远点的距离最远。,过L面束,原点到此平面的距离,求此f 的极值，可得,所以符合条件的平面为,2020/8/6,高等数学课件,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,参考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/6,高等数学课件,解：,相交,求此直线方程 .,方法1,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,参考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,待求直线的方向向量,故所求直线方程为,2020/8/6,高等数学课件,相交,求此直线方程 .,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,参考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,则有,而,2020/8/6,高等数学课件,代入上式 , 得,由点向式得所求直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交,求此直线方程 .,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,参考题,方法2 .,
