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1、二、数列的有关概念,四、收敛数列的性质,五、小结,三、数列极限的定义,第一节 数列的极限,一、引例,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1. 割圆术:,播放,刘徽,一、引例,1、割圆术:,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失
2、矣”,1、割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术:,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术:,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2. 截丈问题:,“一尺之棰,日截其半,万世不竭”,二、数列的有关概念,例如
3、,(sequence),注意:,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,2. 有界性,例如,有界;,无界,同样,3. 单调性,为单调增数列;,单调减数列,单调增数列和单调减数列统称为单调数列,4. 子数列 (subsequence),注意:,例如,,播放,三、数列极限的定义(Limit of a sequence),三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接
4、近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意:,几何解释:,其中,说明:常数列的极限等于同一常数.,四、收敛数列的性质,性质1(极限的唯一性),收敛数列的极限必唯一.,收敛数列必为有界数列.,注意:有界性只是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,性质2(有界性),例,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,推论,性质3(保号性),这个定理表明 若数列的极限为正(或负),则 该数列从某一项开始以后所有项也为正(或负).,性质4(收敛数列与其子数列间的关系),这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于 不同的极限,则该数列是发散的.,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,