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1、第六章 离散时间信号与系统的频域分析,本章内容 6.1 z变换的定义 6.2 z变换的基本性质 6.3 z反变换 6.4 z变换与拉普拉斯变换的关系 6.5 离散时间系统的z变换分析法,1. Z变换定义及其收敛域（1）变换域的基本概念 离散时间信号与系统的常用分析方法 时域分析法： 系统与信号不需任何变换而在时域直接分析、运算。 变换域分析法： 通过变换，建立时域与其频谱间的内在联系，利用 频谱分析的观点方法对系统与信号进行分析和运算。,6.1 z变换的定义,变换域分析法： 频域分析法：离散时间的傅立叶变换 （4种情形） 频域分析法：z变换 （连续时间：拉氏变换） 变换域分析法的优点 可使信号
2、与系统的分析、运算变得简便。,例：卷积和计算 y(n)=x(n)h(n) Y(z)=X(z)H(z),6.1 z变换的定义（续）,6.1 z变换的定义（续）,（2）Z变换定义 （ Z变换通常表达式： X(z)=Zx(n) ） 通常z变换为一有理分式，它可由分式多项式表示:,分子多项式的根是x(z)的零点,分母多项式的根是x(z)的极点,（r:矢径，：复角）,6.1 z变换的定义（续）,（3）Z变换收敛域（定义） 求序列的z变换时需 同时求出其收敛域。,6.1 z变换的定义（续）,1）序列特性对其收敛域的影响 右边序列 z变换收敛域 左边序列 z变换收敛域 双边序列 z变换收敛域,若n20，则
3、0|z|Rx+,若n10，则 Rx-|z|,若 Rx- Rx+ ,则不收敛,6.1 z变换的定义（续）,2）有限长序列的z变换收敛域 有限长序列 n1nn2 z变换收敛域 （三种情形） 有限长左序列： n10 z变换收敛域： 有限长双边序列：n1 0 z变换收敛域： 因果序列是一种右边序列，其z变换收敛域包括无穷大,6.1 z变换的定义（续）,3）Z变换收敛域情形的图解,（1）,（2）,（3）,（4）,收敛域与序列的相互关系： 因果序列 右边序列 ( 且n10） 非因果序列 左边序列 4）收敛域的求法： 由收敛域定义求出z变换的收敛域,6.1 z变换的定义（续）,例6-1 求序列 x(n)=a
4、nu(n ) 的z变换。 解 由z变换定义式知： 其收敛域为： |z|a| 由右边序列特性及z变换极点也可知收敛域为：|z|a|,|az-1|1时,6.1 z变换的定义（续）, 求序列 x(n)= -anu(-n-1 ) 的z变换。 解 由z变换定义式知,有： 其收敛域为： |z|a| 由左边序列特性及z变换极点也可知收敛域为：|z|a|,|a-1z|1时,6.1 z变换的定义（续）, x(n)=anu(n) （右边序列） x(n)=-anu(-n-1) （左边序列） x(n)=anu(n) |z|a| x(n)=-anu(-n-1) |z|a|,收敛域：,z变换：,6.1 z变换的定义（续）
5、,an （n0） anu(n) -bn （n-1） -bnu(-n-1) 解 由于 x(n)= anu(n)- bnu(-n-1) 收敛域： |a|z|b|,例6-2 求双边序列的z变换及收敛域,（ |a| |b| 时，有公共收敛域，否则不收敛。）,z变换：,6.1 z变换的定义（续）,结论 X(z)的极点相同时 其收敛域可能不同 所对应的序列亦不相同,相同极点时的几种收敛域情形（3个极点）,2.常用z变换 单位冲激序列(n): 指数序列anu(n): 单位阶跃序列u(n):,6.1 z变换的定义（续）,6.1 z变换的定义（续）,设： x(n)的z变换为：x(z)=Zx(n) y(n)的z变
6、换为：y(z)=Zy(n) 1）线性：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) 其收敛域为两者的公共部分 若有零极点对消，则收敛域扩大。,6.2 z变换的基本性质,2）序列移位： Zx(nm)=zm X(z) 若x(n)为双边序列：移位后收敛域不变 若x(n)为单边（或有限长双边）序列： 可能会在 z=0 或 z= 不收敛 3）乘以指数序列（z域尺度变换） Zanx(n)=X(a-1z) （收敛域: |a|Rx-|z| |a|Rx+ ）,6.2 z变换的基本性质（续）,5) 反折序列 Zx(-n) = X(1/z) 6) 初值定理 若x(n)为因果序列 x(n)=0，n 0 ， 则：,
7、6.2 z变换的基本性质（续）,7)序列卷积和（时域卷积和定理）,6.2 z变换的基本性质（续）,6.2 z变换的基本性质（续）,其他性质： 终值定理 序列的线性加权 有限项累加特性 复卷积定理 帕塞瓦定理 .,6.2 z变换的基本性质（续）,1. z反变换 根据z变换及其收敛域还原其序列,( c为X(z)收敛域内的一条逆时针闭合曲线 ),6.3 z反变换,根据复变函数理论，X(z)在解析的环状区域内可展成 罗朗级数 其罗朗级数系数即为z反变换x(n) （可由柯西积分定理证明） z反变换通式： x(n) =Z-1X(z),6.3 z反变换（续）,2. 求解z反变换的三种常用方法 留数法（围线积
8、分法） 部分分式展开法 幂级数展开法（长除法）,6.3 z反变换（续）,*留数法（围线积分法） 根据留数定理，若X(z)zn-1在围线c内有K个极点zk ， 则：,（即： Z反变换x(n)为围线c内所有极点留数之和 ）, X(n),6.3 z反变换（续）,6.3 z反变换（续）, 留数求解：, 留数辅助定理： 若围线内、外分别存在K和M个极点，则存在 下述关系：,6.3 z反变换（续）,收敛域： 1/4|z|4解 z反变换x(n)为：,例 用留数法求z反变换x(n),6.3 z反变换（续）,分析被积函数在闭环围线c内外的极点、零点情况。 分析： n+1 0, 即 n-1时，极点：z=1/4,
9、z=4 n+1 0, 即 n-2时，极点：z=1/4, z=4, z=0（n+1阶),零点：z=0,（围线外),6.3 z反变换（续）, 当n-1时，求围线内极点 z=1/4 的留数较为方便。,6.3 z反变换（续）, 当n-2时，因围线c内有两极点（含多阶极点z=0），则 利用留数辅助定理求围线外单极点 z=4 的留数较为方便。,n-2 时，分母阶数较分子阶数高2阶以上,6.3 z反变换（续）, 综合上述两式，得：,6.3 z反变换（续）,1）部分分式展开法 若Z变换X(z)为有理分式，则可展成部分分式之和。 即： 其中： 由z变换表可查出各分式z反变换，而后求和。,6.3 z反变换（续）,
10、部分分式展开法求z反变换的步骤： X(z)除以z X(z)/z， 求出X(z)/z的极点，并根据极点展成分式 由留数定理求各分式系数 根据z变换表及收敛域求z反变换,6.3 z反变换（续）,例6-3 用部分分式法求下式的z反变换x(n)解,6.3 z反变换（续）,6.3 z反变换（续）,2）幂级数展开法（长除法） x(n)的z变换为z-1的幂级数，即： 由此在收敛域内可将X(z)展成幂级数，其系数为x(n)。 幂级数展开方法 对有理分式 采用多项式长除法,6.3 z反变换（续）, 幂级数展开时的排幂方法 收敛域 |z|Rx- 时（右序列），X(z)展成z的降幂级数 X(z) = x(n)zn
11、+ x(n-1)zn-1 + x(n-2)zn-2 + 收敛域 |z|Rx+ 时（左序列），X(z)展成z的升幂级数 X(z) = x(1)z + x(2)z2 + x(3)z3 + ,6.3 z反变换（续）,收敛域： |z| 3 解 由收敛域判定x(n)为右边序列 （ |z| 3 ） 将原式按z的降幂排列:,例6-4 用幂级数法求z反变换x(n),6.3 z反变换（续）,进行多项式长除,6.3 z反变换（续）,归纳出幂系数通式 由此得：,6.3 z反变换（续）,1. 拉普拉斯变换与z变换定义式的比较： z=esT 时抽样序列的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换。,6.4 z变换与拉普拉斯
12、变换的关系,拉普拉斯变换 Z变换,抽样f(n)=f(nT）,映射z=esT,2. 拉普拉斯变换与z变换的数式关系： 复平面： z平面 s平面 坐标系： 映射关系：,6.4 z变换与拉普拉斯变换的关系（续）,3. 拉普拉斯变换与z变换的映射关系图 （ ）, （s到z平面的映射是多值映射）,s左半平面例, 右半平面类似,1.系统函数与差分方程的关系 线性时不变系统的差分方程描述式 若系统初始状态为零，两边取Z变换，则得系统函数：,6.5 离散时间系统的z变换分析法,系统函数,例6-5利用z变换求系统单位冲激响应。解 求系统函数H(z) ,6.5 离散时间系统的z变换分析法（续）,2.利用z变换求解差分方程 利用z变换求解系统零状态响应思路：,Z变换,差分方程,零状态响应,Z反变换,6.5 离散时间系统的z变换分析法（续）,例6-6 已知系统差分方程如下，求该系统的零状态响应。 解：由差分方程求系统z域的输出响应Y(z) ： 由Y(z)求z反变换，得系统时域的零状态响应：,6.5 离散时间系统的z变换分析法（续）,
