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1、第4章 寿险精算现值,精算现值（Actuarial present value）是保险赔付在投保时的期望现值，也就是趸缴纯保费（Net single premium） 。,保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保费（纯保费）和附加保费。 净保费是补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分，附加保费是补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要的缴费部分。,本节考虑如下险种的精算现值：, 终身寿险 Whole life insurance 定期寿险 Term life insurance 生存保险 Pure endowment insurance 两全保险 Endowment insurance
2、 延期保险 Deferred insurance 变额保险 Varying insurance,4.1 死亡年末赔付的人寿保险,死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。 死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加1。,记 为 岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算,1. 终身寿险 对 的1单位元死亡年末赔付终身寿险，其精算现值以 表示。,死亡年末1单位元赔付在投保时的现值随机变量为 ，它的期望就是其精算现值.因为 所以,赔付现值随机变量的方差：,相当于以计算趸缴净保费利息
3、力的两倍计算的趸缴净保费。,记 有 赔付现值随机变量的方差反映赔付现值随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承担的赔付风险程度。,2.定期寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险，其现值随机变量为 精算现值以 表示，有,Z的方差为 其中,例1: 某40岁的人投保了5年10000元定期寿险，保险金在死亡年末给付，根据中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）（男性表）计算趸缴纯保费（利率5%）。,例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元的终身寿险，假设生存函数为 保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保单的精算现值。,注: 在符号 中，令n=1，即得 ，在人寿保险中又称为自然
4、保费，它是根据每一保险年度、每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费，用符号cx 表示，即,3.两全保险：定期寿险与生存保险的合险。 对(x) 的1单位元n年两全保险，死亡年末1单位元赔付现值随机变量为,(x) 的1单位元n年两全保险的精算现值为,其中 表示1单位元给付纯生存险的精算现值。,设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有,两全保险现值随机变量的方差,Z2 的方差为,例3: 设（35）投保5年两全保险，保险金额为1万元， 保险金死亡年末给付，按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。,4.延
5、期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期终身寿险，现值随机变量为,其精算现值以 表示，有 显然有,5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n年定期寿险，其赔付现值随机变量为,其精算现值以 或 表示，有,6.标准变额寿险 如果保险契约规定的赔付数额随着死亡时间的变动而不同，这样的寿险称为变额寿险。 如果赔付额 ，K是从投保开始到死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为标准递增的变额寿险。,标准递增的终身寿险,其精算现值以 表示，有,标准递减的定期寿险,以 表示标准递减的定期寿险精算现值，有,例：设 计算 。,
6、死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳,死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳,例：计算保险金额为10000元的下列保单，在30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险 （2）30年定期寿险 （3）30年两全保险。,例：现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利率为6%。试求其趸缴纯保费。,4.2 死亡即付的人寿保险,死亡即付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。 死亡即刻赔付时刻是一个
7、连续型随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。,1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值随机变量为 T的概率密度为 ，其精算现值 为,直接被估计出来。但实际中，通常只有生命表,注:,面的积分进行变换。,提供的整数年龄上的死亡概率，因此需要对上,被保险人存活函数给出时该精算现值才能,在死亡均匀分布假设下，有,假设死亡集中发生在每个年龄的中间，这时死亡时赔付平均来说比死亡年末赔付早半年。 复利计息时 单利计息时,Z的方差为 其中,例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 计算
8、 (1) ； (2) ； (3) 满足 的 。,例：设(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额为1万元，保险金在死亡时立即给付，利息力为 ， 。 试求（1）其精算现值 ; （2） ； （3）中位数 .,解：已知,（万元）,2.定期寿险 1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为,在死亡均匀分布假设下，有,假设死亡集中发生在每个年龄的中间 复利计息时 单利计息时,例：设 计算 和 . 解：,3.两全保险 1单位元死亡时赔付的精算现值,在死亡均匀分布假设下，有,例：某30岁的人投保了30年两全保险。如果契约规定在投保的前10年死亡赔付10000元，后20年死亡赔付30000元，满期存活给付20000
9、元，假设赔付在死亡时发生，利率为6%。求这一保单的趸缴纯保费。,例：设利息力和存活人数分别为 求,4.标准变额寿险 对于死亡即时赔付的寿险，如果赔付额 ，称为标准递增的变额寿险。 （1）标准递增终身寿险的精算现值为,死亡均匀分布假设下，有 如果赔付额标准连续递增，即 ，则,例：设 计算,（2）标准递增n年定期寿险的精算现值为 在死亡均匀分布假设下，,（3）标准递减n年定期寿险的精算现值为 死亡均匀分布假设下，为,例：对（50）岁的人第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附表1生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。,解：,例：考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按附表2及利率i=0.06计算（50）的人趸缴纯保费。 （1）保障期至第10年底 （2）保障期至第5年底,趸缴净保费递推公式： 解释 (x)的单位保额终身寿险趸缴净保费可以分解为在1年内死亡的赔付现值和1年后存活趸缴净保费。,
