离散数学17平面图及图的着色讲义资料

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1、第17章 平面图及图的着色,聊城大学重点课程 离散数学,本章说明,本章的主要内容 平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图 顶点着色及点色数 地图的着色与平面图的点着色 边着色及边色数,本章所涉及到的图均指无向图。,17.1 平面图的基本概念,一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 定义17.1 G可嵌入曲面S如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图若G可嵌入平面。 G的平面嵌入画出的无边相交的平面图。 非平面图无平面嵌入的图。,（2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。,2、 几点说明及一些简单结论 一般所谈平面图不

2、一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时，一定是指平面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 定理17.1 设GG，若G为平面图，则G也是平面图。 定理17.2 设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图。 推论 Kn(n5)和K3,n(n3)都是非平面图。 定理17.3 若G为平面图，则在G中加平行边或环所得图还是平面图。即平行边和环不影响图的平面性。,二、平面图的面与次数（针对平面图的平面嵌入） 1、 定义 定义17.2 设G是平面图， G的面由G的边将G所在的平面划分成的每一个区域。 无限面（外部面）面积无限的面，记作R0。 有限面（内部面）面积有限的面 ，记作R1, R2, , Rk。 面Ri的

3、边界包围面Ri的所有边组成的回路组。 面Ri的次数Ri边界的长度，记作deg(Ri)。,2、几点说明 若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, , Rk表示，不需要指出外部面。 回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路之并。,平面图有4个面，deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。,R1,R2,R3,R0,定理17.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即,本定理中所说平面图是指平面嵌入。 eE(G)， 当e为面Ri和Rj(ij)的公共边界上的边时，在计算Ri和Rj的次数时，

4、e各提供1。 当e只在某一个面的边界上出现时，则在计算该面的次数时，e提供2。 于是每条边在计算总次数时，都提供2，因而deg(Ri)=2m。,证明,三、极大平面图 1、 定义 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平面图，如K1（平凡图）, K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 定理17.5 极大平面图是连通的。 定理17.6 n(n3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。,定理17.7 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图当且仅当G

5、的每个面的次数均为3。,本节只证明必要性，即设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图，则G的每个面的次数均为3。 由于n3, 又G必为简单平面图，可知，G每个面的次数均3。 因为G为平面图，又为极大平面图。可证G不可能存在次数3的面。,证明思路,假设存在面Ri的次数deg(Ri)=s4，如图所示。,在G中，若v1与v3不相邻，在Ri内加边(v1,v3)不破坏平面性，这与G是极大平面图矛盾，因而v1与v3必相邻，由于Ri的存在，边(v1,v3)必在Ri外。 类似地，v2与v4也必相邻，且边(v2,v4)也必在Ri外部，于是必产生(v1,v3)与(v2,v4)相交于Ri的外部，这又矛

6、盾于G是平面图，所以必有s3，即G中不存在次数大于或等于4的面，所以G的每个面为3条边所围，也就是各面次数均为3。,只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。,四、极小非平面图 定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G为平面图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。,小节结束,17.2 欧拉公式,一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 定理17.8 对于任意的连通的平面图G，有n-m+r=2其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。,证明,对边数m作归纳法。 (1

7、) m0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 (2) m1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论显然成立。,(3)设mk(k1)时成立，当mk+1时，对G进行如下讨论。 若G是树，则G是非平凡的，因而G中至少有两片树叶。 设v为树叶，令G=G-v，则G仍然是连通图，且G的边数m=m-1=k，n=n-1，r=r。 由假设可知 n-m+r=2，式中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。 于是n-m+r=(n+1)-(m+1)+r=n-m+r=2 若G不是树，则G中含圈。 设边e在G中某个圈上，令G=G-e，则G仍连通且

8、m=m-1=k， n=n，r=r-1。 由假设有 n-m+r=2。 于是 n-m+r=n-(m+1)-(r+1)=n-m+r=2,定理17.9 对于具有k(k2)个连通分支的平面图G，有 n-m+r = k+1其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。,证明,设G的连通分支分别为G1、G2、Gk，并设Gi的顶点数、边数、面数分别为ni、mi、ri、i=1，2，k。 由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2，i=1，2，k (17.1),易知，,由于每个Gi 有一个外部面，而G只有一个外部面，所以G的面数,于是，对(17.1)的两边同时求和得,经整理得 n-m+r = k+1。,2、 与欧拉

9、公式有关的定理 定理17.10 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为l(l3)，则 G的边数与顶点数有如下关系：,由定理17.4（面的次数之和等于边数的2倍）及欧拉公式得,证明,解得,推论 K5, K3,3不是平面图。,证明,若K5是平面图，由于K5中无环和平行边，所以每个面的次数均大于或等于l3，由定理17.10可知边数10应满足 10(3/(3-2)(5-2) = 9 这是个矛盾，所以K5不是平面图。 若K3,3是平面图，由于K3,3中最短圈的长度为l4，于是边数9应满足 9 (4/(4-2)(6-2) = 8 这又是矛盾的，所以K3,3也不是平面图。,定理17.11 设G是有k(k2

10、)个连通分支的平面图，各面的次数至少为l(l3)，则边数m与顶点数n应有如下关系：,定理17.12 设G为n(n3)阶m条边的简单平面图，则m3n6。,设G有k(k1)个连通分支， 若G为树或森林，当n3时，m=n-k3n6为真。 若G不是树也不是森林，则G中必含圈，又因为G是简单图，所以，每个面至少由l（l3）条边围成，又在l=3达到最大值，由定理17.11可知,证明,定理17.13 设G为n(n3)阶m条边的极大平面图，则m=3n6。,证明,由于极大平面图是连通图，由欧拉公式得: r=2+m-n (17.4) 又因为G是极大平面图，由定理17.7的必要性可知，G的每个面的次数均为3，所以：

11、,将(17.4)代入(17.5)，整理后得 m = 3n-6。,二、一个意义重大的定理 定理17.14 设G为简单平面图，则G的最小度(G)5。,若阶数 n6，结论显然成立。 若阶数n7时，用反证法。 假设(G) 6，由握手定理可知：,证明,因而m 3n，这与定理17.12矛盾。 所以，假设不成立，即G的最小度(G)5。,本定理在图着色理论中占重要地位。,说明,定理17.7 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。（仅证充分性）,由定理17.4可知，,证明,又因为G是连通的，由欧拉公式可知,将(17.7)代入(17.6)，经过整理得m=3n-6。

12、(17.8) 若G不是极大平面图，则G中一定存在不相邻得顶点u,v，使得 G=G (u,v)还是简单平面图，而G的边数m=m+1，n=n。由(17.8)可知， m3n6，这与定理17.2矛盾。 所以，G为极大平面图。,小节结束,一、为判断定理做准备 1、 插入2度顶点和消去2度顶点 定义17.5 设e=(u,v)为图G的一条边，在G中删除e，增加新的顶点w，使u、v均与w相邻，称为在G中插入2度顶点w。 设w为G中一个2度顶点，w与u、v相邻，删除w，增加新边(u,v)，称为在G中消去2度顶点w。,17.3 平面图的判断,2、图之间的同胚 定义17.6 若两个图G1与G2同构，或通过反复插入或

13、消去2度顶点后是同构的，则称G1与G2是同胚的。,上面两个图分别与K3,3, K5同胚 。,二、两个判断定理 定理17.15(库拉图斯基定理1) 图G是平面图当且仅当G中既不含与K5同胚子图，也不含与K3,3同胚子图。 定理17.16(库拉图斯基定理2) 图G是平面图当且仅当G中既没有可以收缩到K5的子图，也没有可以收缩到K3,3的子图。,例17.1 证明彼得松图不是平面图。,将彼得松图顶点标顺序，见图 (1)所示。,证明,还可以这样证明： 用G表示彼得松图，令 G=G-(j,g),(c,d) G如图 (3)所示，易知它与K3,3同胚，,在图中将边(a,f), (b,g), (c,h), (d

14、,i), (e,j)收缩， 所得图为图 (2)所示，它是K5，,由定理17.16可知，彼得松图不是平面图。,由定理17.15可知，G为非平面图。,例17.2 对K5插入2度顶点，或在K5外放置一个顶点使其与K5上的若干顶点相邻，共可产生多少个6阶简单连通非同构的非平面图？,用插入2度顶点的方法只能产生一个非平面图，如图(1)所示。,解答,在K5外放置一个顶点，使其与K5上的1个到5个顶点相邻，得5个图，如图 (2)到(6)所示。,它与K5同胚，所以是非平面图。,它们都含K5为子图，由库拉图斯基定理可知，它们都是非平面图，并且也满足其它要求。,例17.3 由K3,3加若干条边能生成多少个6阶连通

15、的简单的非同构的非平面图？,对K3,3加16条边所得图都含K3,3为子图，由库拉图斯基定理可知，它们都是非平面图。 在加2条、加3条、加4条边时又各产生两个非同构的非平面图，连同K3,3本身共有10个满足要求的非平面图。其中，绿线边表示后加的新边。,解答,小节结束,17.4 平面图的对偶图,一、对偶图的定义 定义17.7 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图G*如下： 在G的面Ri中放置G*的顶点vi* 。 设e为G的任意一条边， 若e在G的面Ri与Rj的公共边界上，做G*的边e*与e相交，且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点vi*与vj*，即e*=(vi*,vj*)，e*不与其它任

16、何边相交。 若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*的顶点vi*为端点的环，即e*=(vi*,vi*)。,实线边图为平面图，虚线边图为其对偶图。,从定义不难看出G的对偶图G*有以下性质： G*是平面图，而且是平面嵌入。 G*是连通图。 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥，若e为桥，则G*中与e对应的边e*为环。 在多数情况下，G*为多重图（含平行边的图）。 同构的平面图（平面嵌入）的对偶图不一定是同构的。,二、平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系。 定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*、m*、r*和n、 m、r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 （1）n*= r （2）m*=m （3）r*=n （4）设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(vi *)=deg(Ri),(1)、(2)由G*的构造可知是显然的。 (3)由于G与G*都连通，因而满足欧拉公式: n-m+r = 2 n*