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1、2020/8/5,1,年月,第六章 多个角动量耦合,2020/8/5,2,引言,构造原子和原子核等全同多粒子体系的波函数，要求：,、具有一定的交换对称性,、是角动量算符的本征态,涉及不同耦合方式之间的关系（如 L-S耦合、j-j耦合），将碰到四个角动量的耦合,解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其 基础是两个和三个角动量的耦合,定位：应用上十分重要的技术性问题,2020/8/5,3,6.1三个角动量耦合Racah系数，6-j符号,Racah Coefficient; 6-j Symbol,2020/8/5,5,一、Racah系数；与C-G系数之关系,(1a)对应,的共同本征函数,(1b)对应,的
2、共同本征函数,2020/8/5,6,一、Racah系数；与C-G系数之关系,两个表象通过一个幺正变换相联系,综合以上各式可得,U为C-G系数乘积组合而成，因而为实数,称U为重耦合(recoupling)系数,2020/8/5,7,一、Racah系数；与C-G系数之关系,U与所有磁量子数无关,1、,已求和，U与之无关,2、证明与m无关。以升降算符作用于变换式, m 不同对应的变换系数相同,2020/8/5,8,一、Racah系数；与C-G系数之关系,变换系数的幺正性,由,逆变换,2020/8/5,9,一、Racah系数；与C-G系数之关系,定义Racah系数,解析表达式,2020/8/5,10,
3、二、Racah系数的解析表达式,三角关系,Racah系数包含四个C-G系数四个三角关系,2020/8/5,11,三、Racah系数的对称性,由C-G系数对称性而来,在量子数交换时，必须保持四个三角关系,三角关系图形,一个图形对应一个Racah系数,规定图中弯形箭头的次序为Racah系数中角量子数的排列次序，共24个图形,2020/8/5,12,三、Racah系数的对称性,两种交换对称性,分号两边量子数间无交换的W都相等,分号两边量子数有交换的W相差一相因子,2020/8/5,13,三、Racah系数的对称性,完全版,2020/8/5,14,四、6-j 符号, Wigner引进,对称性更高，在下
4、列变换下值不变,任意两列交换；任意两列上下两行交换,事实上，对应24 个W的6-j 符号全相等,2020/8/5,15,五、Racah 系数求和公式, C-G系数与Racah系数间求和公式,2020/8/5,16,五、Racah 系数求和公式, 证明,把展开式代入变换关系,2020/8/5,17,五、Racah 系数求和公式,以左矢,作用于两边,以,作用上式两边得 (1),以,作用得 (2),2020/8/5,18,五、Racah 系数求和公式, Racah系数间求和公式（1）,用Racah系数表示,2020/8/5,19,五、Racah 系数求和公式, Racah系数间求和公式（2）,用Ra
5、cah系数表示,2020/8/5,20,五、Racah 系数求和公式,证明两个求和公式要用到的关系式,以及,2020/8/5,21,五、Racah 系数求和公式, （1）式的证明,2020/8/5,22,五、Racah 系数求和公式, （1）式的证明（续）,将后两式代入第一式，注意到，即得（1）,2020/8/5,23,六、Racah 系数基本应用, 用于计算不可约张量算符矩阵元,2020/8/5,24,六、Racah 系数基本应用, 用于计算不可约张量算符矩阵元,2020/8/5,25,六、Racah 系数基本应用, 具体例子计算电子角动量平均值,利用,2020/8/5,26,六、Racah
6、 系数基本应用, 计算电子角动量平均值（续）,亦可利用一阶张量投影定理计算,2020/8/5,27,六、Racah 系数基本应用,具体例子计算氦核电四极矩,设氦核处于态,电四极算符,因,2020/8/5,28,6.2矢量球函数及梯度公式,Vector Spherical Function,2020/8/5,29,一、矢量球函数, 矢量函数描述 S=1 的粒子,2020/8/5,30,一、矢量球函数, 总角动量本征函数,称为矢量球函数,2020/8/5,31,一、矢量球函数, 梯度公式,2020/8/5,32,6.3四个角动量耦合9-j符号,9-j Symbol,2020/8/5,33,一、考虑
7、四个角动量的耦合, 考虑两种耦合次序对应两个表象,力学量完全集,共同本征函数展开式,2020/8/5,34,一、考虑四个角动量的耦合, 变换系数与9-j 符号,与C-G系数的关系,2020/8/5,35,一、考虑四个角动量的耦合, 9-j 符号与6-j 符号的关系,1),2),2020/8/5,36,一、9-j 符号的对称性, 9-j 符号与3-j 符号的关系,2020/8/5,37,二、9-j 符号的对称性, 由3-j 符号的对称性得9-j 符号的对称性,1) 行列转置， 9-j 符号值不变,2) 任意行或列作偶数次交换， 9-j 符号值不变,2) 任意行或列作奇数次交换， 9-j 符号值差
8、一因子,2020/8/5,38,三、9-j 符号的应用, 由 j-j 耦合变到 L-S 耦合要用到 9-j 符号,2020/8/5,39,年月,第七章 二次量子化方法,2020/8/5,40,引言,通常的波动力学方法处理全同粒子体系麻烦,发展了二次量子化方法,引进粒子占有数表象,2020/8/5,41,7.1中心场近似,Central Field Approximation,2020/8/5,42,二、中心场近似, 多粒子系统的哈密顿量,例：原子序数为 z 的原子中的 z 个电子系统,2020/8/5,43,一、中心场近似, 多粒子系统的哈密顿量,例：原子序数为 z 的原子中的 z 个电子系统,2020/8/5,44,7.2N个全同粒子体系的波函数,零级近似波函数,
