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1、第1章 随机事件及其概率,第1.1节 随机事件,第1.2节 概率,第1.3节 条件概率与独立性,第1.4节 全概率公式与贝叶斯公式,返回,为什么要学习概率论与数理统计?,概率论与数理统计有广泛应用,(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；,(2).流水线上产品质量检验与质量控制；,(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；,(4).生物医学中病理试验与药理试验；,(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电 子产品寿命分析；,(6). 物矿探测、环保监 测、考古研究、机械 仿生等,确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其
2、关系; ,引言,概率统计的研究对象,随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。,在一个标准大气压下，水在100时沸腾； 明天的最高温度; C. 掷一颗骰子，观察其向上点数； D. 上抛的物体一定下落； E. 新生婴儿体重。,下列现象哪些是随机现象？,一、 随机试验
3、、样本空间、事件,1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行（重复性）；每次试验具有多种可能性，但在试验之前可以明确试验的所有可能结果（明确性）；每次试验的结果事前不可预知（随机性）；则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E。 注：以后所提到的试验均指随机试验。,1.1 随机事件,2. 样本空间,随机试验举例： E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几； E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数； E3: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命； E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小 于200小时。,若以i表示试验Ei的
4、样本空间, i=1,2,3,4, 则 E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6；,E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， 2=0,1,2,； E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命， 3=t,t0；,E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否 小于200小时， 4=寿命小于200小时，寿命不小于200小时。,3. 随机事件,试验的每一种可能的结果称为事件在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件用大写字母，表示（举例）,在一次试验中，它所有可能出现的基本结果（不能再分解的事件），称为基本事件,每次试验中一定出现的事件称为必然事
5、件（ ）,每次试验中一定不出现的事件称为不可能事件（ ）,下面用集合来研究试验及其事件,4、事件的集合表示,注意： (1).由于样本空间包含了所有的样本点,且是 自身的一个子集。故,在每次试验中总 是发生。因此, 称必然事件。 (2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间的一个子集,由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。,写出试验E1的样本空间 1=1,2,3,4,5,6的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。 A1=1,A2=2,A6=6 分别表示掷的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件； B=2,4,6 表示掷的结果为“偶数点”，非基本事件； C=1,3,5, 表
6、示“掷的结果为奇数点”，非基本事件； D=4,5,6 表示“掷的结果为四点或四点以上”，非基本事件。,例 1：,二、事件的关系与运算,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。 比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。,I. 集合与事件,集合A包含于集合B：若对 A, 总有B，则称集合A包含于集合B，记成 AB。,事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B,记成AB。,集合
7、A与B的并或和：若 C, 当且仅当 A或B,则称集合 C为集合A与B的并或和,记成AB 或 A+B。,事件A与B的并或和：若事件C发生，当且仅当事件A或B发生，则称事件C为事件A与B的并或和，记成AB 或 A+B。,若AB,且BA，则称事件A与B相等，记成A=B。,无穷多个事件A1,A2,的和,n个事件A1,A2,An的和,C发生就是A1,A2,，An中至少一个事件发生。,C发生就是A1,A2中至少一个发生。,集合A与集合B的交或积：若 C，当且仅当 A且B, 则称集合C为集合A与B的交或积, 记成AB或AB。,事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生，则称事件C为事件A
8、与B的积或交, 记成 AB或AB。,特别地,当AB=时,称A与B为互斥事件(或互不相容事件),简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。,例 1(续) A1=1, A2=2,于是A1A2=。故A1与B2互斥； B=2,4,6,C=1,3,5,于是BC=,故B与C也互斥。,类似地，称n个事件A1,A2,An是两两 互不相容的，如果它们中任何两个事件都互不相容,称可列个事件A1,A2, 是两两互不相容的，如果它们中任何两个事件都互不相容,无穷多个事件A1,A2,的积,n个事件A1,A2,An的积,C发生就是A1,A2,，An都发生。,C发生就是A1,A2,，都发生。.,集合A与集合B的差：
9、若 C当且仅当 A且 B ，则称集合C为集合A与B的差，记成 A- B。,事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生,则称事件C为事件A与B的差,记成 A-B。,特别地，称-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等,记成A 。,例1(续) A1=1, B=2,4,6,于是,A就是A不发生。,完备事件组，如果n个事件A1,A2,An是两两互不相容的，并且它们的和是必然事件，则称n个事件构成一个完备事件组,交换律: AB=BA AB=BA 结合律: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC) 对偶律:,II. 事
10、件的运算法则 (与集合运算法则相同),不是A,B中至少 有一个发生,A,B都不发生,对于多个随机事件,上述运算规则也成立,A(A1A2An) =(AA1)(AA2)(AAn),小结,本节首先介绍了随机试验、样本空间的基本概念，然后给出了随机事件的各种运算及运算法则。,频率,一、频率与频率稳定性,则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A)。,设A是一个事件在相同的条件下进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次。,第1.2节概率,当试验次数充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小
11、。这一性质称频率的稳定性。,频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。仅管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可能各不相同，但只要 n足够当大，频率就会非常接近一个固定值概率。,因此，概率是可以通过频率来“度量”的。频率是概率的近似。,1 0 fn( A) 1； 2 fn()=1, fn()=0； 3. 若事件A1,A2,Ak两两互斥, 则:,性质,二、 事件概率的定义,注意：概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的，但并不能用这个定义计算概率。有时，人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为概率的近似值，但有时也不可能对每一个事件做大量的试验。,二、概率的要点
12、性质,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥 事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P( )=1-P(A). (4) 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (5)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC) +P(ABC) 可推广到有 限个事件的情形(多退少补原则)。,得：P(B
13、)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例题,1.AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。,解：由P(A+B)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,所以，P( )=1-0.2=0.8,2.设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B).,解：由已知得，P(A)=0.6，P(AB)=0.1，P( )=0.15，,则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5,P（B-A）=P(B)-P(AB),P（A
14、+B）=1-P（ ）=1-P（ ）=0.85,又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，,P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25,课堂练习,(901) P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). (915) P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P( ) (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 (941) A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等
15、，P(A)=p，求P(B).,解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p,所以, P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P( )=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,预备知识,一.排列与组合,1.非重复的选排列:从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列,选排列的种数记作,2.组合:从n个不同的元素中,每
16、次取出k(kn)个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用 表示,其中,可重复的排列：从 n个不同元素中,有放回地取k个进行排列，共有 种排列。,二、古典概型,1.古典概型 设为试验E的样本空间，若 （有限性）只含有限个样本点， （等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。,2.古典概率的定义 设E为古典概型，为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=有利于A的基本事件数/实验的基本事件总数( 或 =card(A)/card(S)）,注意：,古典概型的判断方法， 古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点 数清样本空间与随机事件 中的样本点数 列出比式进行计算。,例:两封信随机地向标号为, , , 的四个邮筒投寄,求:
