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1、,Probability,概率论,第一章 随机事件及其概率,第四章 随机变量的数字特征,第二章 随机变量及其概率分布,第三章 二维随机变量及其分布,随机事件及其概率,第一章,随机事件,随机事件的概率,随机事件的公理化定义及其性质,条件概率和乘法公式,全概率公式与Bayes公式,试验的独立性与独立试验概型,随机试验 Random Experiments,试验在相同的条件下可重复进行 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果,上抛一枚硬币 在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标射击,实例,在随机试验中，可能出现也可
2、能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events) 随机事件通常用大写英文字母、等表示,例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用正面向上表示 掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，都导致“出现偶数点”发生。,随机事件 random Events,基本事件与样本空间,仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,样本点 Sample Point,样本空间 Sample Space,基本事件,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 ,全体样本点组成的集合
3、称为这个试验的样本空间，记作即,含有多个样本点的随机事件称为复合事件,=| 0 T,E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命,E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止,E3: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。,E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数,=1,2,=(J,Q),(Q,A),=1，2，3，4，5，6,写出下列试验的样本空间,点数：一维离散型随机变量,射击次数：一维离散型随机变量,寿命：一维连续型随机变量,二维离散型随机变量,在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本事件组成的,A =出现奇数点是由三个基本事件 “出现1点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成
4、的随机事件,样本空间的任一子集A称为随机事件,随机事件（Random Events),例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”、.、“出现6 点”为该试验的基本事件,属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。,特例必然事件Certainty Events,必然事件,样本空间也是其自身的一个子集 也是一个“随机”事件 每次试验中必定有中的一个样本点出现 必然发生,“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为 必然事件。,例,记作,特例不可能事件Impossible Event,空集也是样本空间的一个子集,不包含任何样本点,不可能事件,也是一个特殊的“随机”事件,不可能发生,“抛
5、掷一颗骰子，出现的点数大于6”是 不可能事件,例,记作,随机试验：抛掷硬币,Tossing a coin,掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况,试验的样本点和基本事件,随机试验,样本空间,H：“正面向上” T ：“反面向上”,=H，T,试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况,随机事件,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,A=“正面出现两次”,=HHT,HTH,THH,B=“反面出现三次”,=TTT,C=“正反次数相等”,= ,D=“正反次数不等”,=,随机试验：抛掷两颗骰子,Rolling two die,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,随机试验,
6、试验的样本点和基本事件,样本空间,（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），.，（6，1），（6，2），.，（6，6）,随机事件,试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=“点数之和等于3”,=（1，2），（2，1）,B=“点数之和大于11”,=6，6,C=“点数之和不小于2”,D=“点数之和大于12”,= ,=,事件的关系与运算,给定一个随机试验，设为其样本空间，事件，Ak ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是的子集,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,事件发生必然导致事件发生,子事件 (事件的包含Contain ）,事件
7、的样本点都是事件的样本点,例如,抛掷一颗骰子，观察出现的点数,A=出现1点,B=出现奇数点,记作,相等事件（Equal）,A=B,事件A与事件B含有相同的样本点,例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点” 与事件“出现2，4或6点”是相等事件。,事件A与事件B至少有一个发生,和事件 Union,由事件A与事件B所有样本点组成,多个事件的和,积事件Intersection,多个事件的积,由事件和事件的公共样本点组成,互斥事件 (互不相容事件) Exclusive,事件A与事件B不能同时发生,事件A与事件B没有公共的样本点,对立事件 Contrary,事件A不发生,是由所有不属于A的样本点组
8、成,性质,记作,差事件 Difference,由属于事件A但不属于事件B的样本点组成,性质,完备事件组,完备事件组,概率论 集合论 样本空间（必然事件） 全集 不可能事件 空集 子事件 AB 子集AB 和事件 AB 并集AB 积事件 AB 交集AB 差事件 A-B 差集A-B 对立事件 补集,小 结,Venn图演示集合的关系与运算,事件之间的运算律,交换律,结合律,分配律,摩根律,（1） 三次都击中目标：,（2） 至少有一次击中目标：,（3） 恰好有两次击中目标：,（4） 最多击中一次：,（5）至少有一次没有击中目标：,（6）三次都没有击中目标：,例：复合事件的表示,练一练,A,B,C为同一样本空间的随机事件， 试用A，B，C的运算表示下列事件,1） A，B，C 都不发生,2） A与B发生，C不发生,3） A，B，C 至少有一个发生,4） A，B，C 中恰有二个发生,5） A，B，C 中至少有二个发生,6） 事件3）的对立事件,
