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1、高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 1 - / 22 第十一章圆锥曲线 一、基础知识 1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距 离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F 1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1) 的点 的轨迹（其中定点不在定直线上），即 e d PF | (0eb0)， 参数方程为 sin cos by ax （为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 1 2 2 2 2 b y a y (ab0)。 3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x
2、轴上的椭圆 1 2 2 2 2 b y a x ， a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距， 长轴端点、 短轴端点、 两个焦点的坐标分别为( a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2 ， 与右焦点对应的准线为 c a x 2 ；定义中的比e 称为离心率，且 a c e，由 c 2+b2=a2 知 0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。 若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0) 的切线方程为 1
3、 2 0 2 0 b yy a xx ； 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 2 - / 22 2）斜率为k 的切线方程为 222 bkakxy； 3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为 222 2 cos 2 ca ab l。 6双曲线的定义，第一定义： 满足 |PF1|-|PF 2|=2a(2a0)的点 P的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1) 的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x ， 参数方程为 tan sec by ax （为参数）。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
4、1 2 2 2 2 b x a y 。 8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 1 2 2 2 2 b y a x (a, b0), a 称半实轴长，b称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦 点为F1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为., 22 c a x c a x离心率 a c e， 由 a 2+b2=c2 知 e1。两条渐近线方程为x a k y，双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与1 2 2 2 2 b y a x 有相 同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线
5、。 9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x ，F1（-c,0 ） , F 2(c, 0)是 它的两个焦点。设P(x,y) 是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a ； 若 P（x,y ）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为的弦长是 222 2 cos 2 ca ab 。 10抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l 的直线为x 轴， x 轴与 l 相交于 K， 以
6、线段 KF的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系， 设|KF|=p ， 则焦点 F坐标为 )0 , 2 ( p ， 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 3 - / 22 准线方程为 2 p x，标准方程为y 2=2px(p0) ，离心率 e=1. 11抛物线常用结论：若P(x0, y0) 为抛物线上任一点， 1）焦半径 |PF|= 2 p x； 2）过点 P的切线方程为y0y=p(x+x0) ； 3）过焦点倾斜角为的弦长为 2 cos1 2p 。 12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从 O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样 就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记 |OP
7、|= , xOP= ，则由（，）唯一确定 点 P的位置，（，）称为极坐标。 13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点 P，若 0e1，则点 P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点 P的轨迹为抛物 线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 cos1e ep 。 二、方法与例题 1与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A （2， 1） ， F是椭圆1 1625 22 yx 的左焦点，点 P为椭圆上的动点， 当 3|PA|+5|PF| 取最小值时，求点P的坐标。 例 2 已知 P，P为双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x 右支上两点，PP延长线交右准线于K，PF1延
8、长 线交双曲线于Q， （F1为右焦点）。求证：PF1K=KF1Q. 2求轨迹问题。 例 3 已知一椭圆及焦点F，点 A为椭圆上一动点，求线段FA中点 P的轨迹方程。 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 4 - / 22 例 4 长为 a, b的线段 AB ，CD分别在 x 轴， y 轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动 圆圆心 P的轨迹。 例 5 在坐标平面内，AOB= 3 ，AB边在直线l: x=3 上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方 程。 3定值问题。 例 6 过双曲线1 2 2 2 2 b y a x (a0, b0)的右焦点F 作 B1B2x轴，交双曲线于B1，B2
9、两点， B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交 x 轴于 H点。求证： H的横坐标为定值。 注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y 2 =2px(p0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线 上，且 BC/x 轴。证明：直线AC经过定点。 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 5 - / 22 例 8 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上有两点 A，B，满足 OAOB ，O为原点，求证： 22 | 1 | 1 OBOA 为 定值。 4最值问题。 例 9 设 A，B是椭圆 x 2+3y2=1 上的两个动点，且 OA
10、OB （O为原点），求|AB| 的最大值与最小 值。 例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 3 ，若圆C： 22 ) 2 3 (yx1 上 点与这椭圆上点的最大距离为71，试求这个椭圆的方程。 5直线与二次曲线。 例 11 若抛物线y=ax 2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 6 - / 22 例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆1 4 2 2 y x 相交， （1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时， 求 b 的值。 三、基础训练题 1A为半径是R的定圆 O上一定点， B为 O上
11、任一点，点P是 A关于 B的对称点，则点P 的轨迹是 _. 2一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m 2(0) ，则动点的轨迹是 _. 3椭圆1 36100 22 yx 上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是_. 4双曲线方程1 52| 22 k y k x ，则 k 的取值范围是 _. 5椭圆1 64100 22 yx ，焦点为F1，F2，椭圆上的点P 满足 F1PF2=60 0，则 F 1PF2的面积是 _. 6 直线 l 被双曲线1 4 2 2 y x 所截的线段MN 恰被点 A （3， -1 ） 平分，则 l 的方程为 _. 7 ABC的三个顶点都在抛物线y 2=32
12、x 上，点 A（2，8） ，且 ABC的重心与这条抛物线的焦 点重合，则直线BC的斜率为 _. 8已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和 3x+4y-10=0 ，一条准线方程为5y+4=0，则 双曲线方程为_. 9已知曲线y 2=ax，与其关于点（ 1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点 的直线的倾斜角为45 0，那么 a=_. 10.P 为等轴双曲线x 2-y2=a2 上一点， | | 21 PO PFPF 的取值范围是_. 11已知椭圆1 2 1 2 2 1 2 b y a x 与双曲线1 2 2 2 2 2 2 b y a x 有公共的焦点F1，F2，设 P是它们
13、的一个焦 点，求 F1PF2和 PF1F2的面积。 12已知（ i ）半圆的直径AB长为 2r ； （ii ）半圆外的直线l 与 BA的延长线垂直，垂足为T， 设|AT|=2a(2a1) 的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 ABC ，这样的三角形最多可作_个. 11求椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。 12设 F，O分别为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点 O 都在以 AB为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。 13已知双曲线C1：1 2 2 2 2 2 a
14、y a x (a0) ，抛物线 C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点 F1。 高中数学第十一章圆锥曲线数学竞赛讲义苏教版 - 8 - / 22 （1）求证： C1，C2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过C2的焦点 F1的弦 AB ，使 AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直 线 AB的方程与S AOB的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1在平面直角坐标系中，若方程m(x 2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆，则m的取值范 围是 _. 2设 O为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ为过 F 的弦，已知 |OF|=a ，|PQ|=b ， OP
15、Q 面积为 _. 3给定椭圆1 2 2 2 2 b y a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ ，则 离心率 e 的取值范围是_. 4设 F1，F2分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x (ab0) 的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作 F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则 M的轨迹为 _. 5 ABC一边的两顶点坐标为B（0，2）和 C（0，2） ，另两边斜率的乘积为 2 1 ，若 点 T 坐标为 (t,0)(tR +), 则|AT| 的最小值为 _. 6长为 l(l1)的线段 AB的两端点在抛物线y=x 2 上滑动， 则线段 AB的中点 M到 x
16、 轴的最短距 离等于 _. 7已知抛物线y 2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab 0,b 22pa，M是抛物线上的点， 设直线 AM ， BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当 M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为 _. 8已知点 P（1，2）既在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 内部（含边界） ，又在圆 x 2+y2= 3 2 22 ba 外部（含 边界），若 a,b R +, 则 a+b 的最小值为 _. 9已知椭圆1 34 22 yx 的内接 ABC的边 AB ，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右 顶点分别为D， E ，直线 DB与直线
