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1、高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 1 - / 7 2.2.2 对数函数及其性质（二） （一）教学目标 1知识技能 （1）掌握对数函数的单调性. （2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较. 2过程与方法 （1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法. （2）培养学生的数学应用的意识. 3情感、态度与价值观 （1）用联系的观点分析、解决问题. （2）认识事物之间的相互转化. （二）教学重点、难点 1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小. 2、难点：不同底数的对数比较大小. （三）教学方法 启发式教学 利用对数函数单调性比较同底对数的大
2、小，而对数函数的单调性对底数分1a和 01a两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中 含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论. 对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数， 转化为两组同底数的对数大小的比较， 从而使问题得以解决. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设 计 意图 复习 引入 回顾对数函数的定义、图象、性质. 师：上一节，大家学习了对数函数 y=logax的图象和性质，明确了对数函数 的单调性，即当a1 时，在（ 0，+） 上是增函数； 当 0a1 时，在（0，+） 为 学 习 新 课 作 好 了 高中数学2.2.2 对数函数及其
3、性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 2 - / 7 上是减函数 . 这一节，我们主要通过对数 函数的单调性解决有关问题. 知 识 上 的 准 备. 应用 举例 例 1 比较下列各组数中两个值的 大小： （投影显示） （1）log23.4 ，log23.8 ； （2）log0.51.8 ，log0.52.1 ； （3）loga5.1 ，loga5.9 ； （4）log75，log67. 请同学们回顾一下我们利用指数函 数的有关性质比较大小的方法和步骤， 并完成以下练习. （生板演前三题，师组织学生进行课 堂评价，师生共同讨论完成第四题） 例 1 解： （ 1） 对数函数y=log2x在 （
4、0， +）上是增函数，且3.4 3.8. 于是 log23.4 log23.8. （2）对数函数y=log0.5x在（0，+） 上是减函数，且1.8 2.1 ， 于是 log0.51.8 log0.52.1. （3）当a1 时，对数函数y=log ax 在（ 0，+）上是增函数， 于是 loga5.1 loga5.9 ； 当 0a 1 时，对数函数y=logax在 （ 0，+）上是减函数， 于是 loga5.1 loga5.9. （ 4 ） 因 为 函 数y=log7x和 函 数 y=log6x都是定义域上的增函数， 所以 log75log77=1=log66log67. 所以 log75lo
5、g67. 小结：本例是利用对数函数的单调性 来比较两个对数式的大小的问题，一般是 根据所给对数式的特征，确定一个目标函 数，把需要比较大小的对数式看作是对应 函数中两个能比较大小的自变量的值对 应的函数值， 再根据所确定的目标函数的 单调性比较两个对数式的大小. 当底数为 变量时， 要分情况对底数进行讨论来比较 两个对数的大小. 掌 握 对 数 函 数 知 识 的 应 用. 高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 3 - / 7 例 2 判断函数 f（x）=ln （ 2 1xx）的奇偶性 . 若题中所给的对数式的底数和真数 都不相同时，可以找一个中间量作为桥
6、梁，通过比较中间量与这两个对数式的大 小来比较对数式的大小，一般选择“0” 或“1”作为中间量进行比较. 例 2 解：1 2 xx恒成立， 故（x）的定义域为（， +） ， 又f（x） =ln （ 2 1x+x） =ln xx 2 1 1 =ln 222 2 )1( 1 xx xx =ln （ 2 1xx） =f（x） ， f（x）为奇函数 . 在根据函数的单调性的定义判断函 数单调性的时候，首先应该根据函数的解 析式确定函数的定义域，当所给函数的定 义域关于原点对称时，再判断f（x）和 f（x）之间的关系 . f（x）为奇函数 f（x）=f（x） f（x）+f（x）=0 )( )( xf x
7、f =1f（x）0 ， f（x）为偶函数f（x）=f（x） f（x）f（x）=0 高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 4 - / 7 例 3 （1） 证明函数f（x）=log2（x 2+1） 在（ 0，+）上是增函数； （2）问：函数f（x）=log2（x 2+1） 在（， 0）上是减函数还是增函数？ 例 4 已知f（logax）= ) 1( ) 1( 2 2 ax xa ，其 中a0，且a1. （1）求f（x） ； （2）求证：f（x）是奇函数； )( )( xf xf =1f（x）0 . 在解决具体问题时，可以根据函数解 析式的具体特点选择不同的方式来
8、判断. 例 3 分析： 此题目的在于让学生熟悉 函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数 函数单调性比较同底数对数大小的方法. （1）证明：设x1、x2（ 0，+） ， 且x1x2， 则f（x1）f（x2）=log2（x1 2+1） log2（x2 2+1） ， 0 x1x2， x1 2+1 x2 2+1. 又y=log2x在（ 0，+）上是增函 数， log2（x1 2+1） log 2（x2 2+1） ， 即f（x1）f（x2）. 函数f（x） =log2（x 2+1） 在 （0， +） 上是增函数 . （2）解：是减函数，证明可以仿照 上述证明过程. 小结：利用定义证明函数的单调性是 研究单
9、调性问题的重要方法. 例 4 分析：利用换元法，可令t=logax， 求出f（x） ，从而求出f（x）. 证明奇函 数及增函数可运用定义. （1）解：设t=logax，则tR， 高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 5 - / 7 （3）求证：f（x）在 R上为增函数 . 课堂练习 课本 P85练习 3. x=a t （x0）. 则f（t） = )1( )1( 2 2 aa aa t t = 1 2 a a （a t a t ）. （2）证明：f（x） = 1 2 a a （a x a x） = 1 2 a a （a x a x） =f（x） ， f（x）为
10、奇函数 . （3）证明：设x1、x2R，且x1x2， 则f（x2）f（x1）= 1 2 a a （a 2 x a 2 x ）（a 1 x a 1 x ） = 1 2 a a （a 2 x a 1 x ） +a 1 x a 2 x （a 2 x a 1 x ） = 1 2 a a （a 2 x a 1 x ） （ 1+a 1 x a 2 x ）. 若 0a 1，则a 210， a 1 x a 2 x ， f（x2）f（x1）. y=f（x）在 R 上为增函数； 若a1，则a 210，a 1 x a 2 x . f（x2）f（x1）. y=f（x）在 R 上为增函数 . 综上，a0，且a1 时，y
11、=f（x） 是增函数 . 课堂练习答案： （1）（2） 高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 6 - / 7 （3）（4） 归纳 总结 通过本节的学习，大家要掌握利用对 数函数的增减性比较两对数大小的方法， 并能掌握分类讨论思想. 学生先自回顾反思，教师点评完善形 成 知 识 体 系. 课后 作业 作业： 2.2 第五课时习案学生独立完成巩 固 新知 提 升 能力 备选例题 例 1 比较下列各组数的大小： （1）log0.7 1.3和 log0.71.8 ； （2）log35 和 log64. （3）(lgn) 1.7 和 (lgn) 2 (n 1) ； 【
12、解析】 （1） 对数函数y= log0.7x在(0, +) 内是减函数 . 因为 1.3 1.8 ， 所以 log0.71.3 log0.71.8. （2）log35 和 log64 的底数和真数 都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解. 因为 log35log33 = 1 = log 66log64，所以 log35log64. （3）把 lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对 底数 lgn讨论 . 若 1lnn 0，即 1n10 时，y = (lgn) x 在 R上是减函数， 所以 (lgn) 1.7 (lgn) 2； 若 lgn1，
13、即n10 时，y = (lgn) 2 在 R上是增函数， 所以 (lgn) 1.7 (lgn) 2. 若 lnn = 1 ，即n = 10时， (lnn) 1.7 = (lnn) 2. 【小结】两个值比较大小， 如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a1 时是增函数，0a1 时是 高中数学2.2.2 对数函数及其性质（二）教案新人教 A 版必修 1 - 7 - / 7 减函数， 如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的 形式，必要时还可以“搭桥”找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是
14、 1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方 法灵活多样，是对数学能力的极好训练. 例 2 求证：函数f (x) = x x 1 log2 在(0, 1)上是增函数 . 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0 x1x21， 则f (x2) f (x1) = 21 22 21 loglog 11 xx xx 21 2 21 (1) log (1) xx xx =. 1 1 log 2 1 1 2 2 x x x x 0 x1x21， 1 2 x x 1， 2 1 1 1 x x 1. 则 2 1 1 2 2 1 1 log x x x x 0， f (x2) f (x1). 故函数f (x) 在(0, 1)上是增函数 .
