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1、用心爱心专心1 平面向量的坐标运算 教学目标： 掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用. 教学重点： 平面向量的坐标运算. 教学难点： 平面向量的坐标运算. 教学过程： . 复习回顾 平面向量的坐标运算法则. . 讲授新课 例 1已知A( 1， 1) ，B(1 ，3) ，C(2 ，5) ，那么AB 与AC 是否共线 ?线段AB与线段 AC是否共线 ? 解：AB (1 (1) ，3( 1) (2 ，4)， AC (2 ( 1) ，5( 1) (3 ，6)，又 2634 0， AB AC ， AB 与AC 共线 . 又直线AB与直线AC显然有公共点A， A、B、C三点共
2、线，即线段AB与线段AC共线 . 综上，AB 与 AC 共线，线段AB与线段AC也共线 . 例 2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 ( 2，1)、( 1，3) 、(3，4) ， 求顶点D的坐标 . 对此题，课本是利用向量相等( 即AB DC ) 来求解的，较为简便 . 另外，此题若利用同学 们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路， 下面就介绍这下面六种解法. 解法一： ( 利用向量加法) 先依题意在坐标系内作出ABCD( 如图 ) ，设顶点D的坐标为 (x，y) ，并连结OA、OD， 则OD OA AD . AD BC ， OD OA BC
3、(x，y) ( 2，1) (3( 1) ，43) ( 2，1) (4，1) (2，2) 顶点D的坐标为 (2 ，2). 解法二： ( 利用向量减法) 先依题意在坐标系内作出ABCD( 如图 ) ，设顶点D的坐标为 (x，y) ，并连结OA、OD， 则OD AD AO 用心爱心专心2 AD BC ， OD BC AO ， (x，y) (3 ( 1) ，43) (0 ( 2) ，01) (4 ，1) (2 ， 1) (2，2) 顶点D的坐标为 (2 ，2). 解法三： ( 利用中点的向量表达式) 如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点 . OM 1 2 ( OA OC ) 1 2 ( OB
4、 OD ) ， OA OC OB OD ， OD OA OC OB ( 2，1)(3 ，4)( 1，3) (2，2). 顶点D的坐标为 (2 ，2). 解法四： ( 利用中点坐标公式) 如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为 (x，y) ，则 2 41 2 3 2 32 2 1 y x . 解得x2，y2. 顶点D的坐标为 (2 ，2). 解法五： ( 利用平面内两点间的距离公式) 如图，设点D的坐标为 (x，y). 在ABCD中，AB DC ， BC AD ， 有 2222 2222 )1()2() 34() 13( )4()3() 13()21( yx yx 解得 2
5、 2 y x ， 17 69 17 13 y x . 经检验 2 2 y x 是方程组的解 . 顶点D的坐标为 (2 ，2). 解法六： ( 利用平行四边形对边的向量相等) 如上图，设顶点D的坐标为 (x，y) ， 在ABCD中，AD BC ，AD (x2，y 1) ， BC (4 ，1) ， (x2，y1) (4 ，1)， 用心爱心专心3 即 11 42 y x ，解得x 2，y2， 顶点D的坐标为 (2 ，2). 例 3在OAB中，OA a，OB b，设点M分AB 所成的比为21，点N分OA 所成的比 为 31，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP. 解：OM OA AM OA 2 3
6、 AB OA 2 3 ( OB OA ) 1 3 OA 2 3 OB 1 3 a 2 3 b OP 与OM 共线，设 OP t 3 a2t 3 b 又NP 与NB 共线，设NP sNB ， OP ON NP ON sNB ON s(OB ON ) (1 s) ON sOB 3 4 (1 s) OA sOB 3 4 (1 s)asb 由知 3 2 , 3 )1 ( 4 3 t s t s t 9 10 ，OP 3 10 a 3 5 b 例 4向量b( 3，1)，c(2 ，1) ，若向量a与c共线，求ba的最小值 . 解：设ac(2， ) ， 则ba( 32， 1) ， ba 22 ) 1()32
7、(10105 2 5) 1(5 2 5 ba的最小值为5，此时ac. 例 5已知b的方向与a( 3，4) 的方向相同，且b 15，求b. 解：设a的单位向量为e， 则e | a a ( 3 5 ，4 5 ); b与a方向相同 用心爱心专心4 bbe15( 3 5 ， 4 5 ) ( 9，12) b( 9，12). . 课堂练习 课本 P76练习 1，2， 3 . 课时小结 通过本节学习， 要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进 行简单的应用 . . 课后作业 课本 P77习题 5 ，6，7，8 平面向量的坐标运算 1已知a（ 1，3） ，b（x，1） ，且ab，则x等于
8、（） A.3 B. 1 3 C. 3 D. 1 3 2已知A（x，2） ，B（5，y2) ，若AB （ 4，6） ，则x、y的值为（） A.x 1，y0 B.x1，y10 C.x1，y 10 D.x 1，y 10 3已知M（3， 2） ，N（ 5， 1） ，MP 1 2 MN ，则P点的坐标为（） A. （ 8，1）B.（ 1， 3 2 ） C.（1， 3 2 ）D.（ 8， 1） 4若a 1 2 b（1，2） ，ab(4 ，10） ，则a等于（） A. （ 2， 2） B. （2，2） C.（ 2，2）D.（2， 用心爱心专心5 2） 5若向量a（ 1，x) ，b (x，2）共线且方向相同，
9、则x . 6已知向量OA （k，12） ，OB （4，5） ，OC （10，k）若A、B、C三点共线， 则k . 7已知 |a| 23 ，b( 1，3 ） ，且ab，则a . 8已知作用于坐标原点的三个力F1（3，4） ，F2（2， 5） ，F3（ 3，1） ，求作用于原点的合 力F1F2F3的坐标 . 9设A、B、C、D四点坐标分别为（1，0） ， （0，2） ， （ 2， 3 2 ） ， （ 3 2 ， 1 2 ） ，求证：ABCD 为梯形 . 10已知A（2， 3） ，B（ 1，5） ，满足AC 1 3 AB ，AD 3AB ，AE 1 4 AB ，求C、D、E三点 坐标 . 平面向量的坐标运算答案 1D 2 B 3 B 4 D 5 2 611 或 2 7 （3 ，3）或（3 ， 3） 8解：由F1F2F3（ 3，4）（ 2， 5）（ 3，1）（ 8，0） 9证明：AB （ 1，2） ，DC （ 1 2 ，1） 1 2 AB DC AB ，且 | AB | 2|DC | 四边形 ABCD为梯形 . 10解：由A（2，3） ，B（ 1， 5）得AB （ 3，2） AC 1 3 AB （ 1， 2 3 ）C（ 1，11 3 ） AD 3AB （ 9，6）D（ 7，9） 又AE 1 4 AB （ 3 4 ， 1 2 ）E（ 11 4 ，5 2 ）
