高中数学2.2等差数列教案(3)新人教版必修5

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1、高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 3 / 6 22 等差数列 （一）教学目标 1知识与技能 :通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具 体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法 : 让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导， 归纳抽象出 等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、 表达式得到对等差数 列相应问题的研究。 3情态与价值: 培养学生观察、归纳的能力，培养

2、学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点： 理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些 简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题） 概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差 数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会

3、接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 一类特殊的数列。 探索研究 由学生观察分析并得出答案： （放投影片） 在现实生活中， 我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一次， 可以得到数列： 0，5，_,_,_,_, 2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共 设置了 7 个级别。其中较轻的4 个级别体重组成数列（单位：kg） ：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m 。那么从开始放

4、水算 起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位： m ） ：18，15.5 ，13，10.5 ， 8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（ 1+利率寸期） . 例如，按活期 存入 10 000 元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是： 时间年初本金（元）年末本利和（元） 第 1 年10 000 10 072 第 2 年10 000 10 144 第 3 年10 000 10 216 高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 4 / 6 第

5、 4 年10 000 10 288 第 5 年10 000 10 360 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072， 10 144，10 216， 10 288，10 360。 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5， 10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5 ，13，10.5 ，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？ （由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 5

6、 ； 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列，从第2 项起，每一项与前一项的差都等于 72 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常 数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 等差数列的概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征， 尝试着给等差数列下个定义： 等差数列： 一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等差数列 。 这个常数叫做等差数列的公差 ，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列， 它们的公差依次

7、是5，5，-2.5 ， 72。 提问 ：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A 应满足什么 条件？ 由学生回答：因为a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A 所以就有 2 ba A 由三个数a， A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a 与 b 的 等差中项 。 不难发现，在一个等差数列中，从第2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列： 1，3， 5，7，9，11，13中 5 是 3 和 7 的等差中项，1和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项， 5 和 13

8、 的等差中项。 看来， 73645142 ,aaaaaaaa 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 qpnm aaaa 高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 5 / 6 等差数列的通项公式 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学 习的内容。 、我们是通过研究数列 n a的第 n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下 面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式： 这个数列的第一项是5，第 2 项是 10（=5+5） ，第 3 项是 15（ =5+5+5） ，第 4 项是 20 （=

9、5+5+5+5） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是nan 5 这个数列的第一项是48，第 2 项是 53（=48+5） ，第 3 项是 58（=48+52） ，第 4 项 是 63（=48+53） ，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(548nan 这个数列的第一项是18，第 2 项是 15.5 （=18-2.5 ） ，第 3 项是 13（=18-2.5 2） ， 第 4 项是 10.5 （ =18-2.5 3） ，第 5 项是 8（=18-2.5 4） ，第 6 项是 5.5 （=18-2.5 5）由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218nan 这个数列的第一项是1

10、0072，第2 项是10144（=10172+72） ，第3 项是10216 （=10072+722） ，第 4 项是 10288（=10072+723） ，第 5 项是 10360（=10072+724） ，由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(7210072nan 、那么，如果任意给了一个等差数列的首项 1 a和公差 d，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： , 12 daa , 23 daa , 34 daa 所以, 12 daa , 23 daa , 34 daa 思考：那么通项公式到底如何表达呢？ , 12 daa ,2)( 123 daddadaa ,

11、3)2( 134 daddadaa （n-1）个等式 高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 6 / 6 得出 通项公式 ：由此我们可以猜想得出：以 1 a为首项， d 为公差的等差数列 n a的通项 公式为：dnaan )1( 1 也就是说， 只要我们知道了等差数列的首项 1 a和公差 d，那么这个等差数列的通项 n a就 可以表示出来了。 选讲： 除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： na 是等差数列，所以, 1daann , 21 daa nn , 32 daa nn , 12 daa 两边分别相加得,)1( 1 dnaan 所以dnaan )

12、1( 1 （迭代法）： n a是等差数列，则有daa nn1 ddan 2 dan 2 2 ddan 2 3 dan 3 3 dna)1( 1 所以dnaa n )1( 1 例题分析 例 1、求等差数列8，5，2，的第 20 项. -401 是不是等差数列-5，-9 ，-13 ，的项？如果是，是第几项？ 分析：要求出第20 项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该 等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差； 这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中 高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 7 / 6 的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式

13、，并且需要注意的是，项数是否有意义。 解：由 1 a=8，d=5-8=-3 ，n=20，得49)3()121(8 20 a 由 1 a=-5 ， d=-9-（-5） =-4， 得这个数列的通项公式为, 14)1(45nnan 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n, 使得 -401=-4n-1成立。 解这个关于n 的方程，得n=100，即 -401 是这个数列的第100 项。 例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 n a、 1 a、 d、 n（独立的量有3 个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的 项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是

14、否为正整数，如果不是正整数，那么它就 不是数列中的项。 （放投影片） 例 2某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10 元，即最初的4km （不 含 4 千米）计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等 候时间为0，需要支付多少车费？ 解：根据题意， 当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加 1km，乘客需要支付1.2 元. 所以，我们可以建立一个等差数列 n a来计算车费 . 令 1 a=11.2 ，表示 4km处的车费，公差d=1.2 。那么当出租车行至14km处时， n=11， 此时需要支付车费)(2 .232.1)111(2.11 11

15、 元a 答：需要支付车费23.2 元。 例题评述： 这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。 （放投影片）思考例题：例3 已知数列 n a的通项公式为,qpnan其中 p、q 为常数， 且 p0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定 n a是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 1nn aa（n 1）是不是一个与n 无关的常数。 解：取数列 n a中的任意相邻两项 1nn aa 与（n1） ， 求差得pqppnqpnqnpqpnaa nn ()1)( 1 它是一个与n 无关的数 . 所以 n a是等差数列

16、。 课本左边“旁注” ：这个等差数列的首项与公差分别是多少？ 这个数列的首项pdqpa公差, 1 。由此我们可以知道对于通项公式是形如 qpnan的数列，一定是等差数列， 一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是 p+q. 例题评述： 通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通 高中数学22 等差数列教案（3） 新人教版必修5 8 / 6 项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 探究 引导学生动手画图研究完成以下探究： 在直角坐标系中，画出通项公式为53nan的数列的图象。这个图象有什么特点？ 在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5 的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列 qpnan与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析： n 为正整数，当n 取 1，2，3，时，对应的 na 可以利用通项公式求出。经过描 点知道该图象是均匀分布的一群孤立点； 画出函