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1、高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 1 / 10 “等差数列的前n 项和”教案、教案说明及点评 一、教材分析 教学内容 等差数列前 n 项和 现行高中教材第三章第三节 “等差数列前 n 项和”的第一课时， 主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。 地位与作用 本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进 一步研究等差数列， 其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。 对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法倒序相加求和法，具 有承上启下的重要作用。 二、学情分析 知识基础： 高一年级学生已掌握了
2、函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解 特殊的数列求和。 认知水平与能力 ：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立 地解决问题。 任教班级学生特点 ：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材 上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步 提高。 三、目标分析 1、教学目标 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教 学目标： 知识技能 (1)掌握等差数列前n 项和公式 ; (2)掌握等差数列前n 项和公式的推导过程 ; (3)会简单运用等差数列的前n 项和公式。 数学思考 (1) 通过对等差数
3、列前n 项和公式的推导过程 ,渗透倒序相加求和的数学方法； (2) 通过公式的运用体会方程的思想； (3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。 解决问题 创 设 由 探 索 1+2+3+100 的 和 , 推 广 到 探 索 一 般 的 等 差 数 列 前n 项 和 nn aaaas. 321 的求和公式的情景 ,使学生进一步体会从特殊到一般的数学 研究方法 , 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。 情感态度 高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 2 / 10 结合具体模型 ,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激
4、发学 习兴趣 ,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。 2、教学重点、难点 重点 等差数列前 n 项和公式的推导和应用。 难点 等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。 重、难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略利用数形结合、类比 归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时， 借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师 生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 四、教学模式与教法、学法 本课采用“ 探究发现” 教学模式。 教师的教法 突出活动的组织
5、设计与方法的引导。 学生的学法 突出探究、发现与交流。 五、过程设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： 图片欣赏数形结合 新课引入类比化归 前后呼应公式应用 前后呼应知识回顾 五、教学过程 教学 环节 活动 说明 创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片 泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 点， 传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有 大小相同的宝石， 共有 100 层，同时提出第 一个问题：你能计算出这个图案一共花了多 少颗宝石吗？也即计算1+2+3+.+100=？ 问题 2：何老师按揭买房 ,向银行贷款 25 万 现实模型： 模型 直观 用实际 生活引 入新 新 课 引
6、入 教 师 活 动学 生 活 动 创设情景 提出问题 探究等差数列 前 n 项和公式 （18分钟） 公式应用与 议练活动（1） （5 分钟） 公式的认识 与理解 （4 分钟） 公式应用与 议练活动（2） （9 分钟） 归纳总结 （2 分钟） 高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 3 / 10 元，采取等额本金的还款方式， 即每月还款 额比上月减少一定的数额。2007 年 1 月， 我第一次向银行还款2348 元， 以后每月比 上月的还款额减少5 元，若以 2007年 1 月银行贷款利率为基准利率,那么到2026 年 12 月最后一次还款为止， 何老师连本带 利一共还款多少万
7、元？ 图片欣赏 生活实例 课。 首先认识一位伟大的数学家高斯， 然后提出问题： 高斯是如何快速计算1+2+3 +4+.+100？ 设等差数列 n a前 n 项和为 n S,则 问题 1 老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n 项和公式？ 老师：但是否刚好配对成功呢？ （1） n 为偶数时： （2） n 为奇数时： 老师： 那么该如何解决落单的 2 1n a呢？ 学 生 ： 1+100=101， 2+99=101，.50+51=101， 所以原式 =50（ 1+101） =5050 学生 ：将首末两项配对， 第 二项与倒数第二项配对， 以 此类推，每一对的和都相 等，并且都等于。 学生 ：不一定
8、，需要对 n 取 值的奇偶进行讨论。 当 n 为偶数时刚好配 对成功。 当 n 为奇数时，中间的 一项 2 1n a落单了。 （可能部分学生在此会遇 到困难，老师做适当的引 导。 ） 学生： 观察 2 1n a的脚标与 高斯求 和众所 周知， 学生能 快速解 答。 这里 用到了 等差数 列脚标 和性质 从 高 斯算法 出发， 对 n 进 行讨论 寻找求 和公式 思路自 然，学 生容易 想到。 对 中 间项 2 1n a 的 解决办 法的过 探 索 公 式 nnn aaaaS 121 n aa1 nnnn aaaaS 1 22 1 )( 2 1nn aa n S nnnnn aaaaaS 1 2
9、 1 2 1 1 2 11 2 11)( 2 1 nnnaaa n S naa1 高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 4 / 10 议 练 同过对 n 取值的讨论，得到了前n 项和求和公式： 但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的 方法求前n 项和公式呢？接下来给出实际 问题： 伐木工人是如何快速计算堆放在木场 的木头根数呢？ 问题 2：如何用倒置的思想求等差数列前n 项和呢？ 方法一： 两式相加得： 方法二 同样利用倒序相加求和法， 教材做了如 下处理： 两式相加得： 引导学生带入等差数列的通项公式， 换 掉整理得到公式 2。 脚标的关系，即： 学生观察动画演示，不 难发
10、现用倒置的思想来解 决此问题。 （由上一问题的解决， 学生 容 易 想 到 倒 序 相 加 求 和 法。 ） 学生： 利用倒序相加求和 法。 将 n S中的每一项用等 差数列的通项公式进行巧 妙的改写，在倒序相加求和 时，每一组中的 d 都被正负 抵消了。 学生类比方法一与方法 二的联系与区别。 学生自己阅读教材，体 会教材的解法是如何运用 求和公式。 程中， 进一步 让学生 体会研 究数列 就是对 脚标数 学的研 究。 倒序相 加求和 法是重 要的数 学思 想，为 以后数 列求和 的学习 做好了 铺垫。 在等差 数列前 n 项和 公式的 推导过 程中， 通过问 题获得 知识， 让学生 经历
11、“发现 问题 提出 问题 解决 问题” 的过程 探 索 公 式 2 )( 2 1 2 1 2 1 1 nn n aa aa n )( 2 1n aa n )( 2 1nn aa n S 22 12 1 2 1 2 1 n nn n aa aa a nnn aaaaS 121 121 aaaaS nnn )(2 1nn aanS )( 2 1nn aa n S )1(.)( 111 dnadaaSn )1(.)(dnadaaS nnnn )(2 1nn aanS )( 2 1 1nn aa n S：公式 n a d nn naSn 2 ) 1( 2 1 ：公式 高中数学23 等差数列的前n 项和
12、教案3 新人教版必修5 5 / 10 活 动 认 识 公 式 认 识 公 例 1：计算 （1）1+2+3+n （2）1+3+5+(2n-1) （3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给 (1),(2)问一个直观 的解释。 变式练习： 课前提出的房贷问题。 解: 由已知每月还款数成等差数列, 设为 n a： 问题 3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 1 a n a n a 1 a 观察多媒体课件演示。 学生： 要求总还款额实际就 是对一个等差数列求和。 学生：将求和公式与梯形面 积公式建立联系， 而梯形面 积公
13、式的推导也正是利用 了倒置的思想。 学生：同样将公式 2 与梯 形面积公式建立联系。用 “割”的思想将梯形分做一 个平行四边形和一个三角 形，而梯形面积就是这两部 分面积之和。 学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想， 知 三可求二。 通过对 实际问 题的解 决让学 生认识 到数学 来源于 生活， 同时又 服务于 生活 利用数 形结合 的思 想，使 学生对 两个公 式有直 观的认 识，体 会数学 的图形 语言。 240, 5,2348 1 nda )(420120 )5( 2 239240 2348240 2 )1( 1 元 d nn naSn d nn na
14、Sn 2 )1( 2 1 ：公式 2 )( :1 1n n aan S公式 高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 6 / 10 式 议 练 活 动 课 1 a n 剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。 例 2 等差数列 -10 ，-6，-2，2， 前多 少项的和为 54？ 解：设题中的等差数列是 n a，前 n 项和 为 n S： 则 1 a10，d6（ 10）4 令 n S54，由等差数列前n 项和公式， 得： 解得 1 n9， 2 n3（舍去） 因此, 等差数列的前 9 项和是 54 例 3： 解： （1）161125152aaaaaa 学生讨论分析题目所含的
15、已知量，选取了公式 2 进行 运算，利用了方程的思想。 需要注意的是学生可能会 把公差认为是 -4，以及解得 n 的值后未把 n=-3 舍去。 学 生 进 行 了 分 组 讨 论，然后每组派学生代表进 行分析。不少小组首先对已 知条件作转化， 希望能通过 解方程求出首项和公差， 但 发现条件不够， 不能解出这 些基本量，教师做适当的引 导。 本 环 节 由 学 生自 主 归 纳、总结本节课所学习的主 例 2 在 解决了 例 1 的 基础 上，由 浅入 深，深 化了对 公式的 理解， 体现了 方程的 思想。 紧扣 教材， 让学生 体会整 体应用 公式， 类比化 归的思 想方 法，同 时，为 以后
16、综 合问题 的解答 设下伏 笔。 dnaan)1( 1 1 a dn)1( 1 () 1 2 n n n aa S公式 1 (1) 2 2 n n n Snad公式 dnaan)1( 1 通项公式： (1) 10454. 2 n n n 116 16151252 ,20)2( ,36:) 1( Sa Saaaa an 求已知： 求已知 中在等差数列 高中数学23 等差数列的前n 项和教案3 新人教版必修5 7 / 10 堂 总 结 18 152161 aaaa 144 2 )(16 161 16 aa S （2） 本小题主要考察了对公式一的整体应 用。 根据课堂剩余时间，本题作为机动练习， （2）小问留给学生课后完成。 1、 教师引导学生归纳总结本节课所学 习的主要内容 2、课后作业： 教材 118 页：1、2、3、5、6、7 课后思考： 等差数列的前n 项和的求和方法除 了倒序相加法还有没有其它方法呢? 3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北 朝时，张丘建
