高中数学第二章平面向量全部教案新人教A版必修1

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1、高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 1 / 37 第二章 平面向量 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念 之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 向量概念引入后，全等和平行（平 移） 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景. 在本章中， 学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平

2、面向量应用五部分内容. 能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍 了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解. ） 第 1 课时 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共 线向量 . 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事

3、物的数学本质的能力. 教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法： 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大. 学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型： 新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追 到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. A B C D 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 2

4、/ 37 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O

5、，这是它们是不是平行向量？这时各向 量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2. 向量的表示方法： 用有向线段表示； 用字母 、 （黑体，印刷用）等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB； 向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 3. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量； （ 2）有向线段有起点、大小和方向三

6、个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： A(起点 ) B （终点） a 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 3 / 37 长度为0 的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的. 注意0与 0 的含义与书写区别. 长度为1 个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行. 说明： （1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作 . 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明： （1）向量

7、与相等，记作； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段 的起点无关 . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的 起点无关） . 说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量 可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固： 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零

8、向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例 3 下列命题正确的是（） A.与共线，与共线，则与c也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 4 / 37 的四顶点 C.向量 与不共线，则 与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所 以两

9、个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行 四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同 无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑， 假若 与 不都是非零向量， 即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线， 可有 与 共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C. 例 4 如图，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等 的向量 . 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

10、 变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,） 课堂练习 ： 1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABDC 一个向量方向不确定当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：不正确. 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB、AC在同一直线上 . 不正确 . 单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. 不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确 . 不正确 .

11、如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同 . 2书本 88 页练习 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 5 / 37 三、小结： 1、 描述向量的两个指标：模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业： 书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 6 / 37 第 2 课时 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数

12、形结合解 决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点： 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点： 理解向量加法的定义. 学法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移 的合成、力的合成可看作向量的加法. 借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法，让学生顺理成章接受向量的加法定义. 结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则 . 联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒

13、体或实物投影仪，尺规 授课类型： 新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调： 向量是既有大小又有方向的量. 长度相等、 方向相同的向量相等. 因此，我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下， 移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A到 B，再从 B按原方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB （2）若上题改为从A到 B，再从 B按反方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB （3）某车从A到 B，再从 B改变方向到C， 则两次的位移和：ACBCAB A B C C A B A B C A B C 高中数学第二章

14、平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 7 / 37 O A B a a a b b b （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB 二、探索研究： 、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 、 三角形法则（ “首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a、 . 在平面内任取一点A，作ABa，BC ，则向量AC叫做 a 与的和，记作a ，即aACBCAB，规定：a + 0-= 0 + a 探究： （1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|b| ，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b| ；若 |a|0时a与a方向

15、相同； 0( 内分 ) (外分 ) 0 ( -1) ( 外分 ) 0 (-1 0 ，(a)b =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos，a(b) =|a|b|cos， 若 0 ， (a)b =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos， a(b) =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos. 3分配律： (a + b)c = ac + bc 在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，a + b（即OB）在c方向上的 投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a

16、| cos 1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos2， c(a + b) = c a + c b即： (a + b)c = a c + b c 说明： （1）一般地， ()（） （2），0 （3）有如下常用性质： ， （） （） () 三、讲解范例： 例 1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a 2b垂直，求a 与b的夹角 . 高中数学第二章平面向量全部教案新人教 A 版必修 1 30 / 37 解：由 (a + 3b)(7a 5b) = 0 7a 2 + 16 a b15b 2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 两式相减： 2a b = b 2 代入或得：a 2 =