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1、高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案湘 教版选修2 1 / 8 课题：12 离散型随机变量的期望与方差（二） 教学目的： 1 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分 布列求出方差或标准差 2. 了解方差公式“D(a+b)=a 2D ” ，以及“若 (n，p) ，则D =np(1 p) ” ，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 教学重点： 离散型随机变量的方差、标准差 教学难点： 比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 授课类型： 新授课 课时安排： 2 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 数学期望是离
2、散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值 的平均水平， 表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变 量的平均数、均值今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度进行研究其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究 过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 1 x， 2 x， n x中，各数据 与它们的平均值x得差的平方分别是 2 1 )(xx ， 2 2 )(xx ， 2 )(xxn， 那么 1 2 n S 2 1 )(xx 2 2 )(xx)( 2 xxn 叫做这组数据的方差 教学过程 ： 一、复习引入： 1. 随机变量 ：
3、如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量 叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示 2. 离散型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切 值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与 连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量 的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一 列出 5.分布列 : 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2)教
4、案湘 教版选修2 2 / 8 x1x2xi P P1P2Pi 6. 分布列的两个性质：Pi0，i1， 2，；P1+P2+=1 7. 二项分布 :B(n，p) ，并记 knkk n qpCb(k；n，p) 0 1 k n P n n qpC 00111n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 8. 几何分布： g(k，p)= 1k qp，其中 k0,1,2,，pq1 1 2 3 k P ppq 2 q p 1k qp 9. 数学期望 : 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 x1x2xn P p1p2pn 则称E 11p x 22p x nnp x为的数学期望，简称期望 10.
5、 数学期望是离散型随机变量的一个特征数 ， 它反映了离散型随机变量取 值的平均水平 11 平均数 、 均值 : 在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令 1 p 2 p n p， 则 有 1 p 2 p n pn 1 ，E 1 (x 2 x n xn 1 )，所以的数学期望又称为平均数 、均值 12. 期望的一个性质: baEbaE)( 13. 若B（ n,p ） ，则 E=np 二、讲解新课： 1. 方差 :对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，且取这些值的概率分别是 1 p， 2 p， n p，那么, D 1 2 1 )(pEx 2 2 2 )(pEx n
6、n pEx 2 )( 称为随机变量的均方差 ，简称为 方差 ，式中的E是随机变量的 期望 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案湘 教版选修2 3 / 8 2. 标准差 :D的算术平方根 D 叫做随机变量的标准差， 记作 3. 方差的性质：（1）DabaD 2 )(； （2） 22 )(EED； （3）若B(n，p) ，则Dnp(1-p) 4. 其它： 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； 随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数 ，它们都反映了 随机变量取值的稳定 与波动 、集中 与离散 的程度； 标准差与随机变量本身有相同的单位，所
7、以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例： 例 1设随机变量的分布列为 1 2 n P n 1 n 1 n 1 求 D 解： （略） 12 1-n D 2 1n E 2 例 2已知离散型随机变量 1的概率分布为 1 1 2 3 4 5 6 7 P 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 离散型随机变量 2的概率分布为 2 37 38 39 4 41 42 43 P 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：4 7 1 7 7 1 2 7 1 1 1 E； 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2
8、)教案湘 教版选修2 4 / 8 4 7 1 )47( 7 1 )42( 7 1 )41 ( 222 1 D；2 11 D 4 7 1 3.4 7 1 8.3 7 1 7 .3 2 E； 2 D=0.04, 2 .0 22 D. 点评：本题中的 1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为 分散， 2的取值较为集中 4 21 EE，4 1 D，04.0 2 D，方差 比较清楚地指出了 2比1取值更集中 12，2=0.02 ，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 例 3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8， 9，10 的概率分别为0.2,0.6,0.2;
9、射手乙击中环数8，9， 10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解： 1 80.290.6100.29E 22 1 (89)0.2(99)0.6D+（10-9）4.02. 0 2 ； 同理有8 .0,9 22 DE 由上可知， 21 EE， 12 DD所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名 射手所得的平均环数很接近，均在9 环左右，但甲所得环数较集中，以9 环居 多，而乙得环数较分散，得8、10 环地次数多些 点评：本题中， 1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不 同 21 EE=9，这时就通过 1 D=0.4 和 2 D=0.8 来
10、比较 1和2的离散程 度，即两名射手成绩的稳定情况 例 4A 、 B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次 品的概率如下表所示： A机床B机床 次品数10 1 2 3 次品数10 1 2 3 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案湘 教版选修2 5 / 8 概率 P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好 解： E1=00.7+1 0.2+2 0.06+3 0.04=0.44, E2=00.8+1 0.06+2 0.04+3 0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较
11、它们的方差 D1=（0-0.44 ） 2 0.7+ （1-0.44 ）20.2+ （2-0.44 ）2 0.06+ （3-0.44 ） 20.04=0.6064, D2=（0-0.44 ） 2 0.8+ （1-0.44 ）20.06+ （2-0.44 ）2 0.04+ （3-0.44 ） 2 0.10=0.9264. D1 D2故 A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习： 1 . 已知,8,1.6B n pED，则, n p的值分别是（） A1000.08和；B200.4和；C100.2和；D100.8和 答案： 1.D 2.一盒中装有零件12 个，其中有9 个正品， 3 个次品，从中任取
12、一个，如 果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得 正品之前已取出次品数的期望 分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽 样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样， 则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件 解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1， 2，3 当 =0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（ =0）= 4 3 12 9 当 =1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（ =1）= 44 9 11 9 12 3 当 =2时，即第一、二次取出次品，第三次取
13、得正品，试验停止，则 P（ =2）= 220 9 10 9 11 2 12 3 当 =3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量的期望与方差(2)教案湘 教版选修2 6 / 8 P（ =3）= 220 1 9 9 10 1 11 2 12 3 所以， E= 10 3 220 1 3 220 9 2 44 9 1 4 3 0 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200 件商 品，设其中次品数为，求E， D 分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由 于产品数量很大，因而抽样时抽
14、出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小， 所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽 200 件商品可以看作200 次独立重复试验，即B （200，1% ） ，从而可用公式： E=np，D =npq( 这里 q=1-p) 直接进行计算 解：因为商品数量相当大，抽200 件商品可以看作200 次独立重复试验， 所以B（ 200，1% ）因为 E=np，D=npq，这里n=200，p=1% ，q=99% ，所 以， E=2001%=2,D =2001% 99%= 1.98 4. 设事件 A 发生的概率为p，证明事件A 在一次试验中发生次数的方 差不超过1/4 分析：这是一道
15、纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算 方法，关键还是掌握随机变量的分布列求出方差D =P(1-P) 后，我们知道D 是关于P(P0) 的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论 证明：因为所有可能取的值为0， 1 且 P（ =0）=1-p,P( =1)=p, 所以， E=0(1 - p)+1p=p 则 D=（0-p ） 2(1 -p)+(1-p) 2 p=p(1 -p) 4 1 2 )p1(p 2 5. 有 A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： A11 35 B100 1 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.
16、1 0.2 其中A、B分别表示A、B 两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗 拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好 分析：两个随机变量A和B&都以相同的概率01，02，0 4，01， 02 取 5 个不同的数值 A取较为集中的数值110，120，125，130，135； B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量 较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性 解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+120 0.2+125 0.4+130 0.1+135 0.2=125, EB=1000.1+115 0.2+125 0.4 十 1300.1+145 0.2=125. 所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为 D A=(110-125) 2 0.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 2 高中数学第一章概率与统计 (第 4 课)离散型随机变量
