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1、广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 1 / 9 广东省湛江市 2013届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 一、选择题（本题共10 小题；每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1. 复数,1iz则z z 1 （） A.i 2 3 2 1 B.i 2 3 2 1 C.i 2 3 2 3 D.i 2 1 2 3 2. 已知实数集R，集合|02,Mxx集合 1 | 1 Nx y x ，则 R ()MN( ) A.|01xxB.| 02xxC.|1x xD. 3. 已知 2 :; 41xqxp：65x.
2、 则 p 是 q 成立的 ( ) A. 充分不必要条件B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4函数( )ln2f xxx的零点的个数为（） A0 B1 C2 D3 5. 已知向量kba, 1,1 , 2，若baa2，则k等于 ( ) A.6 B.6 C.12 D.12 6. 设等差数列 n a的前n项和为, n S 2 a、 4 a是方程 2 20 xx的两个根，则 5 S等于 ( ) A. 5 2 B.5 C. 5 2 D.-5 7若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. 2 8. 曲线nxxxf1)(在 x=e
3、 处的切线方程为 A y=x B y=x-e C y=2x+e D y=2x-e 9已知 50 1 xy yx x ，则23xy的最大值为 ( ) 广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 2 / 9 A.5 B10 C 25 2 D 14 10、在集合 a ， b ，c，d 上定义两种运算和如下： 那么b()ac( ) Aa Bb Cc Dd 二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，满分20 分其中11-13 题是必做题， 14、 15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分. （一）必做题（1113题） 11. 某单位有青年职工160
4、人，中年职工人数是老年职工人数的2 倍，老、中、青职工共有 430 人. 为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为。 12. 执行如图所示的程序框图， 输出的 S值为。 13若双曲线 22 1xky的离心率为2， 则实数 k 的值为。 （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一 题） 14 （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 极 坐 标 系 中 ， 圆2cos的 圆 心 的 极 坐 标 是 15 （几何证明选讲选做题）如图AB是半圆O的直径，点C为半圆圆周上一点，ODAC 交圆周于点D，交AC于点E，
5、且AB=4，BAC=30，则CD= 广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 3 / 9 三解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分12 分） 已知函数 2 ( )2 3sincos12sin,f xxxx xR （1）求函数( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数( )yf x的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，把所得 到的图像再向左平移 6 单位，得到的函数( )yg x的图像，求函数( )yg x在区间 0, 8 上的最小值 17 （本小题满分12 分） 设有
6、关于x 的一元二次方程 22 20 xaxb.(1) 若a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一 个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2) 若a 是从区 间0,3任取的一个数，b 是从区间 0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率 18. （本小题满分14 分） 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 111 ABCAB C 中， 1 3,5,4,ACABAABC 点D是AB 的中点 . （）求证： 1 ACBC ； （）求证： 1/ AC 平面 1 CDB ； （）求三棱锥 11 ABCD 的体积 . 广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题
7、文 新人教 A 版 4 / 9 19 （本小题满分14 分） 设函数 2 ( )(1)2ln(1)f xxx （I ）求( )fx的单调区间； （II ）当 0a0，b0 时，方程 22 20 xaxb有实根的充要条件为ab. (1) 设为 (a，b) 其中一个数表示a 的取值，第二个数表示b的取值，基本事件有如下 12 个 (0,0) ，(0,1) ，(0,2)，(1,0) ，(1,1) ，(1,2)，(2,0) ，(2,1)，(2,2) ，(3,0) ，(3,1)，(3,2) 事件A 中包含 9 个基本事件，事件A 发生的概率为 93 ( ) 124 P A (2) 试验的全部结束所构成的
8、区域为(a，b)|0 a3,0 b2 ， 构成事件A 的区域为 (a，b)|0 a3,0 b2，ab， 所以所求的概率为 2 1 3 22 2 2 ( ) 323 P A 18. 解： （1）证明：在 ABC中，3,5,4,ACABBC 222 ,ABACBCABC 为Rt， .ACBC 又 1CC底面 ABC ， AC底面 ABC ， 1. ACCC 11 ,CCBCC CC BC平面 11 ,BBC C AC平面 11BB C C ， 而 1BC 平面 11BB C C ， 1.ACBC （2）设 1 BC 交 1 BC 于 E 点，连结.DE 直三棱柱 111,ABCA BC 四边形 1
9、1 BB C C 是平行四边形， E 是 1 BC 的中点 又 D 是AB的中点， 1/,ACDE 而 DE平面 1CDB ，1AC平面1CDB ， 1/ AC平面 1 CDB （3）连结 11 ,AD AC ，过点 C 作 CFAB ，垂 足为 F . 广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 7 / 9 在 RtABC 中， 3412 , 55 AC BC CF AB 又直三棱柱 111, ABCA BC 平面 ABC平面 11ABB A ，而平面ABC平面11,ABB AAB CF平面,ABC CFAB CF平面 11ABB A ，即 CF 是三棱锥11C
10、AB D 的高， 又 1 1 111 11 5410, 22 A B D SABAA 111111 1112 108. 335 AB CDCA B DAB D VVSCF 19. 解： （ I）定义域为( 1,) 12 (2) ( )2(1) 11 x x fxx xx 令( )0fx，则 2 (2) 0 1 x x x ，所以2x或0 x 因为定义域为( 1,)，所以0 x 令( )0fx，则 2 (2) 0 1 x x x ，所以 20 x 因为定义域为( 1,)，所以 10 x 所以函数的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为( 1,0) （II ）( )(2)2ln(1)g xa xx
11、（1x） 2(2) ( )(2) 11 aa g xa xx 因为 0a2，所以2 0a ， 0 2 a a 令( )0g x可得 2 a x a 所以函数( )g x在(0,) 2 a a 上为减函数，在(,) 2 a a 上为增函数 当03 2 a a ，即 3 0 2 a时， 在区间0 3，上，( )g x在(0,) 2 a a 上为减函数，在(,3) 2 a a 上为增函数 所以 min 2 ( )()2ln 22 a g xga aa 当3 2 a a ，即 3 2 2 a时，( )g x在区间(0 3)，上为减函数 所以 min ( )(3)632ln 4g xga 广东省湛江市2
12、013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 8 / 9 综上所述，当 3 0 2 a时， min 2 ( )2ln 2 g xa a ； 当 3 2 2 a时， min ( )632ln 4g xa 20. 3 22 2 , 1 2, 2 3 2 1 ,0 , 2, , 2 1 , 2 1 112 2111 212221 21 cabc aa a aAFra 2 1 -FABF aFFBFAF BFFBFBFaAFAF aFFac a c 解得所以 半径）（的外接圆圆心为所以 所以 中点为，则由于又 所以得由题意 所求椭圆方程为.1 3 2 4 2 yx （）由（）知F2(1,
13、0),设 l的方程为 :),1(xky将直线方程与椭圆方程联立，得 (1), 22 1. 43 yk x xy 代入，得.012 2 4 2 8) 2 43(kxkxk设交点为 2 (,),(,), 1 21 MxyN x y 因为 2 340,k则 12 2 8 ,(2) 12 12 2 34 k xxk xx k yy . 若存在点)0,(mP，使得以PNPM ,为邻边的平行四边形是菱形， 由于菱形对角线垂直，则0).(MNPNPM. 又(,)(,)(2,) 12 222111 PMPNxm yxm yxxm yy， MN的方向向量是), 1(k， 故02 21 ) 21 (mxxyyk.
14、 02 2 43 2 8 )2 2 43 2 8 ( 2 m k k k k k. 广东省湛江市2013 届高三数学上学期11 月月考试题文 新人教 A 版 9 / 9 由已知条件知0k且Rk， 4 1 0. 4 2 3 1 2 43 2 m k k k m 故存在满足题意的点P且m的取值范围是) 4 1 ,0(. 21、解： （1）令( )ln(1)(0) 1 x g xxx x ，则 22 11 ( )0 1(1)(1) x gx xxx ， ( )g x在(0,)时单调递增，( )(0)0g xg，即当0 x时，ln(1) 1 x x x 即当0 x时，( )( )f xh x4 分 （2）由 1 22 n nn Sa，得 11 22 n nn Sa(n 2). 两式相减，得 1 222 n nnn aaa，即 1 22 n nn aa(n 2). 于是 1 1 1 22 nn nn aa ，所以数列 2 n n a 是公差为1 的等差数列 . 6 分 又 2 11 22Sa，所以 1 4a. 所以2(1)1 2 n n a nn，故(1) 2 n n an. 8 分
