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1、高等数学（上）,兰辉 办公室：宁静楼214 E-mail: 答疑时间：周一至四 12：10-13：15 (第二周开始) 地点：致远楼105,前言,上册 （一元函数） 极限 导数、微分 积分 微分方程求解,下册 （多元函数） 极限 偏导数、全微分 重积分 无穷级数,（空间解析几何）,极限 （高等数学的基本方法）,导数 （特殊极限）,定积分 （特殊极限）,不定积分,一元函数微积分结构,互为逆运算,计算方法,第一节 映射与函数,集合,二 函数,三 函数的性质,(Mapping and Function),四 函数的运算及初等函数,微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极
2、限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。,任取,组成,一个有序对,以这样的有序对的全体组成的,记为,集合称为集合 与集合 的直积,且,如,即为,面上全,体点的集合,常记作,区间,设,且,开区间,闭区间,半开区间,无限区间,特别地,邻域,定义,设 与 是两个实数,且,数集,称为点 的 邻域.,记为,其中,叫做该邻域的半,径.,点 叫做该邻域的中心,记为,即,点 的去心的 邻域,以 为中心的任何开区间均是点 的邻
3、域,函 数 的定义,反函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,函 数 的性质 单值与多值 有界性 单调性 奇偶性 周期性,初等函数,函数（Function),函数概念,定义,是一个给定的数集.,如果对于每个数,有确定的数值和它对应,则称 是 的函数,记作,其中,记为,即,对,按照对应法则,总有确定的值,与之对应,的函数值.,因变量与自变量的这种依赖关系通常称,为函数关系.,函数值,全体组成的集合称为函数 的值域,记为,或,即,注:,构成函数的要素为:,定义域与对应法则,定义域的确定:,对实际问题,根据问题的实际,意义确定;,对抽象函数表达式,约定:,定义域是使算式有,意义的一
4、切实数组成的集合,这种定义域又称为,函数的自然定义域.,例如,函数的表示法:,表格法、图形法、公式法(解析法).,函数的图形:,坐标平面上的点集,称为函数,的图形.,从函数的定义可见,自变量在定义域内任取一个数,值,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单,值函数.,单值函数与多值函数,多值函数:,例如,对多值函数,只要附加一些条件,就可以化为单值,函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分,支.,如对上例,可,例1,求函数,义域.,的定,函数的表示法,根据函数的解析表达式的形式不同,函数常见,以下三种:,显函数,函数 由 的解析表达式直接表示.,例如,隐函数,关系由方程,来确定.,例如,函
5、数的自变量 与因变量 的对应,(1) 符号函数,几个特殊的分段函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,函数的有界性,数集,若,则称,若,则称,有界,无界,函数的有界性,有下界.,在 上有界,在 上既有上界又,例如,故函数 有界,且 是它的上界,是它的下界.,例2,证明,函数,函数,函数的单调性,偶函数,函数的奇偶性,例3,判断函数,的奇偶性.,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,函数的周期性,例4,设,求,并讨论其性质.,例5,恒有,证明:,则,幂函数、指数函数与对数函数,1.,幂函数,(1),情形;,(2),情
6、形;,2.,指数函数,3.,对数函数,的指数函数记为,简记为,叫做自然对数函数,4. 三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,此外,尚有,正割函数,余割函数,直接函数与反函数,求反函数：,直接函数,反函数,互为反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,5. 反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数,复合函数,引例,设,定义,而函数,的值域为,若,则称函数,注:,中间变量,因变量,即,通常记为,复合函数,(2),不是任何两个函数都可以复合成一个复合函,例如,数的.,(3),复合函数可以由两个以上的函数经过复合构,例如,成的.,例6,设,求,例7,将下列函数分解成基本初等函数的复合:,例8,设,求,函数的运算,则我们可以定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,例9,证明必存在,使得,初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,以上五类函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数,有限次的函数复合步骤,经过有限次的四则运算,和,所构成并可用一个式子表,示的函数,称为初等函数.,注意：,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,在工程与物理问题中很有用的:,反双曲函数,双曲函数,双曲函数常用公式,反双曲函数,反双曲正弦,反双曲余弦,反双曲正切,奇函数,奇函数,
