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1、测量的误差和不确定度,测量是物理实验的基础。 测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的评价（不确定度）。 以电阻测量为例 测量对象 数值 不确定度 单位 含义： R 的真值有相当大（例如95%）的可能（概率）位于区间 （909.9，910.7） 之内。,测量分为直接测量和间接测量 直接测量：由仪器直接读出测量结果的。 间接测量：由直接测量结果通过公式计算 而得出结果的。,例：测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h和直径d，算出体积 然后用天平称出它的质量M，算出密度 这里铜柱的高 h、直径 d 和质量 M是直接测得量， 体积V和密度是间接测得量。,误差分类,系统误差：测量值对真值的
2、偏离（包括大小和方向） 总是相同的。具有恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小。 偶然误差：由大量、微小、不可预知的因素引起。 具有随机性，服从统计律 产生原因： 系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差 偶然误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数 的偏差，测量对象的不稳定.,系统误差的处理,已定系统误差：设法消除，或修正 测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统误差 （如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内阻引起的 误差） 未定系统误差：估计其限值（仪器的允差），归入B类不确定度参与对测量结果的评价（如仪器误差）。,B类不确定度的估算,电流表（量程30mA, 0.5级
3、）,仪器误差 举例：,偶然误差的处理,偶然误差的特点：统计规律性 小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具 有单峰性； 正、负误差对称分布， 具有抵偿性。 处理方法： 取多次测量的平均值为测量结果的最佳估计值。 研究其分布，找出其特征值，归入A类不确定度，参与对测量结果的评价。,偶然误差的分布,偶然误差一般服从正态分布，可用概率密度函数 来描述，概率密度函数为 (1). 当测量次数 时， 所有测量值的算术平均值就等于真值 所以增加测量次数可以减小偶然误差。 (2). 称为标准差，是 中的参数，反映误差的离散程度,(3). 置信区间 与置信概率（置信水平）的关系：,偶然误差的处理方法 假定系统
4、误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得的值为xi (i =1, 2，n) (1) 用多次测量的算术平均值作为x0的估计值： (2) 用算术平均值的标准差 作为 的估计值 按贝塞耳公式求出： 测量结果可以表述为：,为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成 不确定度 是概率意义上对测量结果精确程度的评价。 表示测量结果是一个范围 它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内 （关键是找出 置信区间与置信概率的关系） 若置信概率为100%，则相应的 就称为极限误差， 用 表示，写作：,不确定度,也常用标准差 表示，写作 这时置信概率就为68.3% 要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位
5、 、不确定度这三个要素 相对误差和相对不确定度： 常用相对不确定度估计相对误差的大小,例：测得两个物体的长度为： 其相对不确定度分别为： 两者不确定度相等，但相对不确定度后者大1个数量级。 注：不确定度一般取12位有效数字。,不确定度分类,不确定度分为两类： A 类分量 (多次重复测量时)可用统计学方法计算的 分量；（常指标准差） B 类分量 用其他方法估算的分量（比如仪器的允差或极限误差）。 总不确定度是这两类分量的方和根合成：,A类不确定度A的计算,计算标准偏差 计算算术平均值的标准差,单次测量的几种情况： (1).仪器精度较低； (2).对测量的准确程度要求不高 (3).受测量条件限制
6、单次测量只能考虑B类分量，即仪器的允差或极限误差 ，表达式： 若要在 与 间换算，,单次测量的不确定度,直接测量的数据处理程序,求测量数据的平均值 修正已定系统误差 (例如初读数x0），得 求算术平均值的标准偏差 根据所用仪器得 DB=D仪 =e 将极限误差换算为标准差 由A、 B合成总不确定度u : 给出直接测量的最后结果：,例：用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共6次，测量值如下表： 螺旋测微计的初读数为：- 0.003mm， 螺旋测微计的仪器误差为仪= 0.004mm，求测量结果。 解:(1)求直径 d 的算术平均值、对已定系统误差进行修正 (2)计算A类不确定度,(3)计算B类不确定
7、度 (4)合成不确定度 (5)测量结果为,设被测量y可写成m个直接测量量 的函数 通过直接测量已得 则 或,适用条件,(1).各直接测量量 互相独立； (2).各直接测量量 的已定系统误差已 被消除或修正。,常用函数的不确定度合成公式,间接测量的数据处理程序,1. 求出各直接测量量 xi 的平均值 和(总)不确定度 2. 求y的平均值 3. 据 求出 或 3.用 求出 或先用 求出 再求 4.完整表示出y的结果,例：已知金属环的外径 内径 高 求环的体积V ，并正确表示测量结果。 解：环体积公式为 （1）环体积的最可靠值为 （2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分,则相对不确定度
8、为 （3）不确定度为 （4）环体积的测量结果为 V=9.440.08 cm3 9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44。,有效位数的概念 测量结果用且只用它的有效位数表示。 不确定度决定有效位数。具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。 测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高 例：0.0123与1.23与123的有效位数都是3位。0.01230有效位数是4位, 最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。,2-2数值的有效位数及其运算规则,记 例1： 光速C=30万公里每秒 不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s 正
9、确的写法：C=3.0105km/s=3.0108m/s 例2： 电子电量 e = 1.602189 10-19 C,科学记数法,仪器的读数规则 (1). 刻度式仪表，在最小分度值后要估读一位 (2). 数字显示仪表，直接读取仪表的示值。 (3). 游标类量具，读到游标分度值的整数倍。,有效位数的运算规则,“4舍6入5凑偶”: (1). 要舍弃的数字小于5时，舍去； (2). 要舍弃的数字大于5时，进1； (3). 要舍弃数字刚好是5，凑偶。 例：保留3位有效位数，则 9.8249=9.82 9.82571=9.83 9.8250=9.82,数值的修约规则,运算过程多保留1至2位， 最终结果的有
10、效位数由不确定度决定 要点： (1). 避免运算过程引入不必要的“舍入误差” (2). 最终结果按有效位数的规则进行修约，归根到底，不确定度决定有效 位数,有效位数的运算规则,例：已知 ， 求 并正确表示测量结果。 解： (1) 注意应取 = 3.1416 参与运算 (2) 注意多算出1位，最后再作修约 (3) V=9.440.08 cm3 注意最终结果的正确表达,(1). 两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与 两数中最后一位位数高者相同。如： 11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65 十分位 十分位 个位 个位 (2). 两数相乘（除），其积（商）
11、的有效位数与两数中有效位数少者相 同。如： 98 2003 =2.0105 ； 2.0000.991=2.02 二位 二位 三位 三位 注：正确数不适用上述规则 常数应取足够的有效位数参与运算,简化的运算规则,3.实验数据的列表与作图,3-1 数据列表 3-2 作图法处理实验数据,3-1 数据列表,所有实验数据都要用列表的方法记录 例： 表1：伏安法测电阻实验数据,作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系 可用来求某些物理参数 作图规则：（以伏安法测电阻实验为例） 表1：伏安法测电阻实验数据 要用坐标纸作图 根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准
12、确度或精密度 坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等） 标出数据点 连成光滑曲线，标注图题及必要的说明,3-2 作图法处理实验数据,电阻伏安特性曲线,利用所绘直线作有关计算,由图上A、B两点可得被测电阻R为：,不当图例展示：,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,改正为：,横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,改正为：,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,改正为：,
