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1、,18 无穷小的比较,一、无穷小的阶,二、关于等价无穷小的定理,阶的定义,定理1、,定理2、,用等价无穷小求极限,两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无 穷小趋于零的“快慢”程度 在x 0的过程中，x 20比3x 0“快些”，反过来3x 0比 x 20“慢些”，而sin x 0与x 0“快慢相仿”,一、无穷小的阶,观察两个无穷小比值的极限：,观察与比较：,一、无穷小的阶,设a 及b 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,就说b是比a高阶的无穷小，记为b=o(a)；,就说b是比a低阶的无穷小,就说b与a是同阶无穷小；,就说b是关于a的k 阶无穷小,就说b与a是等价无穷小，记为a b
2、,阶的定义：,阶无穷小,所以当x 0时，1-cos x 是关于x 的二,即sin x x (x 0),所以当x 0时，sin x 与x是等价无穷小，,二、关于等价无穷小的定理,定理1 b与a是等价无穷小的充分必要条件为 b=a+o(a),证明 必要性 设a b，则,因此 b-a=o(a)，即 b=a+o(a),充分性 设b=a+o(a)，则,因此ab,因为当x 0时,所以当x 0时，有,因为当x 0时tan x x ，,所以当x 0时，有,tan x =o(x),例1 因为当x 0时sin x x ，,所以当x 0时，有,sin x =x+o(x),定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可 用等价无穷小来代替因此，如果用来代替的无穷小选取得适 当，则可使计算简化,举例：,解 当x 0时，tan 2x 2x ，sin 5x 5x，所以,解 当x 0时sin x x，无穷小x 3+3x 它本身显然是等价，,例2,所以,
