三维几何建模课件

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1、计算机图形学第10讲 几何造型技术-1,华中科技大学CAD中心 吴义忠 13545009970 ,几何造型技术是研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。几何造型通过对点、线、面、体等几何元素的数学描述，经过平移、旋转、变比等几何变换和并、交、差等集合运算，产生实际的或想象的物体模型。,几何造型技术概述,1几何形体的计算机内部表达 2实体模型的CSG、BREP表达 3. 实体模型的其它表达方法,几何造型1,1.几何形体的计算机内部表达,计算机中表示形体，通常用线框模型、表面模型和实体模型。 线框模型和表面模型保存的三维形体信息都不完整。 只有实体模型才能够完整地、无歧义地表示三维形体。,在实

2、体模型的表示中，出现了许多方法，基本上可以分为空间分解表示（单元枚举、八叉树分解、单元分解等）、构造表示（CSG）和边界表示（BREP）三大类。构造表示是按照生成过程来定义形体的方法，构造表示通常有扫描表示、构造实体几何表示和特征表示三种。,点用三维坐标表示，是最基本的元素 边是形体相邻面的交界，可为空间直线或曲线 环是有序、有向的封闭边界，外环仅一个，逆时针方向，内环可有可无，也可多个，方向顺时针。 面是一个单连通区域，可以是平面或曲面，由一个外环和若干个内环组成；面的方向由面的法矢决定，法矢向外为正向面。,基本概念及定义,实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个面的集合。,形体表面上

3、任一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圈，即围绕该点的形体邻域在二维空间中可构成一个单连通域，我们把满足该定义的形体称为正则形体。否则为非正则形体，如存在悬面、悬边的长方体为非正则形体。 正则形体：形体的边界将形体分成两个部分，一部分在实体内，一部分在实体外。,正则实体面、边、顶点之间的关系,欧拉公式：V E + F = 2,线框模型,线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成 。,线框模型在计算机内存储的数据结构： 顶点表：记录各顶点坐标值； 棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点。,class POINT class EDGE double v3;

4、 /坐标值 int start_point_no; /边的起点 int pointtype; /点的属性 int end_point_no; /边的终点 CURVE cur； /边方程定义 . . ,以立方体为例，其线框模型结构如下表：,优点 结构简单，计算机内部易于表达，绘制快速； 物体的三维数据可以产生任意视图，为生成工程图带来了方便,缺点,有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、棱线过多时，会引起模糊理解。,2. 在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的信息。从原理上讲，此种模型不能消除隐藏线、计算物性、生成数控加工刀具轨迹、有限元网格剖分、物体干涉检验等。,表面模型,表面模型是用有连接

5、顺序的棱边围成的有限区域来定义形体的表面,再由表面的集合来定义形体。 表面可以是平面，也可以是柱面、球面等类型的二次曲面，也可是样条曲面构成的自由曲面。 表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容。,表面模型存储几何信息的方法是建立三表结构，即顶点表、边表和面表。,1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其组成边。,class POINT class EDGE class FACE 同线框模型 同线框模型 int edge_num； /边数 int *edge

6、_no; /边链表 int face_type; /面类型 SURFACE sur；/面方程 . . . ,表面模型唯一没有解决的问题是形体究竟在表面的哪一侧，因而在物性计算、有限元分析等应用中，表面模型在形体的表示上仍然缺乏完整性。,表面模型可以满足面面求交，线面消隐、明暗处理和数控加工的要求。,表面模型的特点,实体模型,为了解决形体存在于表面的哪一侧的问题，可采用实体模型来描述三维立体,在表面模型的基础上可用三种方法来定义表面的哪一侧存在实体。 1）给出实体存在一侧的一点； 2）直接用表面的外法矢来指明实体存在的一侧； 3）用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向，该方 法为CAD系统广泛采用

7、。,用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向时，规定有向棱边按右手法则取向：沿着闭合的棱边所得的方向与表面外法矢方向一致。 相邻两个面的公共棱边的方向是不一致的,POINT, EDGE同前 LOOP: listEdges; inner_outer FACE: pOuterLoop, lstInnerLoops BODY: lstFaces,数据结构如下：,根据实体模型，可以进行物性计算（如体积、质量，惯量）、有限元分析等应用。,从前面的实体模型可知，本质上我们仍然采用形体的边界表面的数学描述代替实体描述。 这种典型的描述方法通常称为实体的边界表达方法（BREP）,实体模型的特点,线框、表面与实体模

8、型的比较,10 几何造型1,1几何形体的计算机内部表达 2几何形体的CSG、BREP表达 3. 几何形体的其它表达方法,实体模型边界表达（BREP）,边界表示(Boundary Representation，缩写Brep)通过描述实体的边界来表示实体。实体的边界将该实体分为实体内点集和实体外点集，是实体与环境之间的分界面。定义了实体的边界，实体就被唯一定义，如右图所示。,边界表示是用一组曲面（或平面）来描述三维物体，这些曲面（或平面）将物体分为内部和外部。典型例子是平面立体表示和曲面表示的立体。,实体的边界通常是由面的并集来表示，而每个面又由它的数学定义加上其边界来表示，面的边界是环边的并集，

9、而边又是由点来表示的。,一类是几何信息。描述形体的大小、位置、形状等基本信息，如顶点坐标，边和面的数学表达式等。 另一类是拓扑信息。拓扑信息描述形体上的顶点、边、面的连接关系。 拓扑信息形成物体边界表示的“骨架”，形体的几何信息犹如附着在“骨架”上的“肌肉”。 在Brep中，拓扑信息是指用来说明体、面、边及顶点之间连接关系的这一类信息，例如面与哪些面相邻；面由那些边组成等。 描述形体拓扑信息的根本目的是便于直接对构成形体的各面、边及顶点的参数和属性进行存取和查询，便于实现以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。,Brep中必须表达的信息分为两类:,例如：多面体的面、边和顶点间的九种拓扑关系 （

10、几何造型内核中可以由相关函数获得）,面面邻接关系 面上点的关系 面上边的关系 点与面连接关系 点点连接关系 点与边连接关系 边面邻接关系 边点连接关系 边边连接关系,在这九种不同类型的拓扑关系中，有些关系冗余，因此计算机内部并不需要所有拓扑关系都直接表达。 通过分析，至少需表达两种以上拓扑关系才能构成一个实体完全的拓扑信息。 存储更多的拓扑关系，花费的代价是存储量大了，以冗余来换计算工作量的节省和某些算法的易于实现。,在Brep表达中，简单实体的数据结构可用体、面、边、点四个层次的表描述,对复杂实体的数据结构则采用更多的层次表来描述,边界表达强调实体的外表细节，把面、边、顶点的信息分层描述，并

11、建立了层与层之间边界表示。 BREP没有统一的数据结构，为了有效地表示几何体的拓扑关系，斯坦福大学BGBaumgart在1972年提出的以棱边为中心的多面体表示的翼边结构(Winged Edge Data Structure，WED)及改进后的对称结构等。,边界表示的数据结构,翼边结构以边为核心组织数据，如图： 棱边数据结构中包含两个点指针，指向该边的起点和终点，棱边为一有向线段。当棱边为曲线段时，还需增加一指针指向曲线表示的结构。,现在的CAD系统数据结构都是翼边结构的变种,WED中另设两个环指针，分别指向棱边所邻接的两个环(左外环和右外环)。由边环关系可确定棱边与邻面之间的拓扑关系。 为了

12、从棱边搜索到它所在的任一闭环上的其它棱边，数据结构中还增设四个指向邻边的指针，分别为左上边、左下边、右上边、右下边，左上边为棱边左边环中沿逆时针方向所连接的下一条边，其余类推。 WED方法拓扑信息完整，查询和修改方便，可很好地应用于正则布尔运算,层次图的Brep,体,面表,环表,边表,顶点表,Brep自动生成,Brep表示法的优点： (1)表示形体的点、线、面等几何元素是显式表示、使得形体的显示很快并且很容易确定几何元素之间的连接关系； (2)可对Brep法的形体进行多种操作和局部修改 缺点： (1)数据结构复杂，需要大量存储空间，维护内部数据结构及一致性的程序较复杂； (2)对形体的修改操作

13、较难实现。,实体模型的构造实体几何表示方法（CSG）,构造实体几何表示(Constructive Solid Geometry，缩写为CSG)的含义是任何复杂的形体都可用简单形体通过正则集合运算组合，并配合几何变换来表示。 在1977年由罗切斯特(Rochester)大学的Voelcker和Bequicha等人首先提出的。 CSG中物体形状的定义以集合论为基础，先定义集合本身，其次是集合之间运算。所以，CSG表示先定义有界体素(如立方体、圆柱、球、锥、圆环等)，然后将这些体素进行并、交、差运算（如图）。,A 体,B 体,A* B,A* B,A*B,形体的CSG可看成是一个有序的二叉树，其叶子节

14、点是体素或几何变换的参数，非叶节点则是布尔运算的操作符或几何变换操作。任何子树表示其下两个节点的组合或变换的结果，树根表示最终的形体。,用CSG树表示一个形体是无二义性的，但一个形体可以有不同的CSG树表示，取决于使用的体素、构造操作方法和操作顺序。 CSG表示依赖稳定可靠的布尔运算算法支撑。,优点： (1) 数据结构比较简单，信息量小，易于管理； (2) 每个CSG都和一个实际的有效形体相对应； (3) CSG树记录了形体的生成过程，可修改形体生成的各环节以改变形体的形状。 缺点： (1) 不能进行形体的局部修改，如面、边、点等； (2) 直接基于CSG表达形体，其组合运算及显示效率很低。,

15、CSGBREP混合表示,从用户进行造型的角度看，CSG方法比较方便，从对形体的存储管理和操作的角度看，Brep法更为实用。 目前大多数CAD系统都以CSGBrep的混合表示作为形体数据表示的基础： 以CSG模型表示几何造型的特征历史过程及其特征设计参数； 用Brep模型维护详细的几何信息和显示、查询等操作，同时也为布尔运算提供基础。,10. 几何造型1,1几何形体的计算机内部表达 2几何形体的CSG、BREP表达 3. 几何形体的其它表达方法,空间分割表示,将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分，每一小部分又可分为更小的部分，这种分解过程直至每一小部分都能够直接描述为止。,空间位置枚举表示 八叉树表示,空间位置枚举表示,空间位置枚举法是一种穷举表示法，它可以用来表示任何物体，通常情况下，它只是物体的近似表示。,当立方体被物体所占据时，取值为1，否则为0。这样，三维数组就唯一表示了包含于立方体之内的物体。,采用这种表示很容易实现物体的集合运算以及计算物体的诸如体积等的许多整体性质。 缺点：如果没有明确给出物体的边界信息，不适于图形显示，并且它占据的存储量非常大。,八叉树表示,八叉树表示法对空间位置枚举法中的空间分割方法做了改进，它并不是统一将物体所在的立方体空间均匀划分