《一轮复习课件 第0章 第9节 离散型随机变量的均值与方差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一轮复习课件 第0章 第9节 离散型随机变量的均值与方差（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为：,x1p1x2p2xipixnpn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本均值、方差趋于随机变量的均值与方差,二、两点分布与二项分布的均值、方差 1若X服从两点分布，则E(X)，D(X) 2若XB(n，p)，则E(X) ，D(X) 三、均值与方差的性质 1E(C)C(C为常数) 2E(aXb). 3D(aXb)(a，b为常数),p,p(1p),np,np(1p),aE(X)b,a
2、2D(X),1随机变量X的分布列如下图，则X的数学期望是() A.2.0B2.1 C2.2D随m的变化而变化,解析：由题知：0.20.5m1，m0.3， E(X)10.220.530.32.1. 答案：B,2已知随机变量的分布列为：,答案：A,答案：B,4. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%.公司应要求投保人交的保险金为_元 解析：设要求投保人交x元，公司的收益额作为随机变量，则P(x)1p，P(xa)p. E()x(1p)(xa)pxap. xap0.1a，x(0.1p)a 答案：(0.1
3、p)a,5有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于_,【考向探寻】 1根据分布列求离散型随机变量的期望与方差 2求二项分布的期望与方差 【典例剖析】 (2012湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：,历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率,(1)根据互斥事件求得相应概率，得分布列，利用公式求均值与方差； (2)根据条件概率求解,解：(1)由已
4、知条件和概率的加法公式有： P(X300)0.3， P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4， P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2， P(X900)1P(X900)10.90.1. 所以Y的分布列为：,故E(Y)00.320.460.2100.13； D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2 (103)20.19.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.,求数学期望和方差主要有两类：(1)若随机变量服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)(2)若随机变
5、量X是一般的离散型随机变量，则应先求分布列，然后由数学期望和方差的定义计算,(1)均值(数学期望)反映的是随机变量取值的平均水平，均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均 (2)E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的,【考向探寻】 利用期望与方差解决实际问题 【典例剖析】 (2012新课标全国高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式 (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(
6、单位：枝)，整理得下表：,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由,所以E(X)600.1700.2800.776. D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744. 答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)那么Y的分布列为：,所以E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4. D(Y)(5576.4)20.1(
7、6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进16枚玫瑰花 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为,所以E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4 由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，故花店一天应购进17枝玫瑰花,(1)D(X)表示随机变量X对E(
8、X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近 (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，解题时一般先比较均值；若均值相同，再用方差来决定,解：(1)若按“项目一”投资，设获利为1万元则1的分布列为,【考向探寻】 期望与方差与其他数学知识综合的问题 【典例剖析】 (1)(2013湛江模拟)已知离散型随机变量X的分布如下表若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.,(2)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，
9、其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位：万元)为X. 求X的分布列； 求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；,经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ (1)根据分布列的性质，E(X)，D(X)列出关于a，b，c的方程组求解 (2)确定X的取值，求概率，得分布列 根据求期望即可 根据条件求出革新后X的分布列，求其期望，然后列不等式求解,解决期望与方差与其他数学问
10、题的综合性问题的关键仍为期望与方差的求法，然后转化为函数、不等式等问题即可,(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及E(X)； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围,解：(1)依题意X的所有可能取值为1,0，1，故X的分布列为,(12分)(2012陕西高考)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：,从第一个顾客开始办理业务时计时 (1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； (2)X表示至第2分钟末已办理完业
11、务的顾客人数，求X的分布列及数学期望 (1)由条件得顾客所等时间的分布列，根据互斥事件，独立事件求概率 (2)确定X的所有可能取值，求其概率，列表得分布列，然后求期望,设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：,2分,(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟 所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0
12、.10.30.30.10.40.40.22.5分,(2)方法一：X的所有可能取值为0,1,2.6分 X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P(X0)P(Y2)0.5； X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟， 所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；,X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. 9分 所以X的分布列为,10分,E(X)00.510.4920.010.51. 12分 方法二：X的所有可能取值为0,1,2. 6分 X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P(X0)P(Y2)0.5；,X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； P(X1)1P(X0)P(X2)0.49. 所以X的分布列为9分,10分,E(X)00.510.4920.010.51. 12分,求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值 第二步：求每一个可能值所对应的概率 第三步：列出离散型随机变量的分布列 第四步：求均值和方差,活 页 作 业,谢谢观看！,
