第八章 方差分析1知识课件

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1、方差分析是分析试验数据一种重要方法。一个复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要问题之一。,第 8 章 方差分析,8.1 方差分析的引论 8.2 单因素方差分析 8.3 双因素方差分析,第 8 章 方差分析,学习目标,解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 掌握双因素方差分析的方法及应用,8.1.1方差分析及其有关术语,什么是方差分析(ANO

2、VA)?(analysis of variance),1、方差分析：就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有影响。 方差分析：是一种通过分析样本的方差来检验三个或更多的总体的均值相等性的方法。 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等,是否可以通过 T检验来比较多个总体的均值？,用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，假如要比较四个总体的均值是否相等需要进行6次t检验 在整体检验中犯第一类错误的概率显著增加：如果在每次t检验中犯第一类错误的概率等于5%，则在整体检验中等于1-(1-0.05)6=0.2649,什么是方差分析(ANOVA)?(analysis

3、of variance),2、研究分类型自变量对数值型因变量的影响 3、有单因素方差分析和双因素方差分析 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量,什么是方差分析?(例题分析),【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表,什么是方差分析?(例题分析),分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，

4、即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异,1.因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例如被投诉次数 。 2.自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以进行比较的变量例如行业。 在方差分析中，自变量也被称为因素或因子 (factor)。,方差分析中的有关术语,所要检验的对象 要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子,方差分析中的有关术语,3.水平或处理(treatment) 因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平 4.观察值 在每个因素水平下得到的样本数据 每个行业被投诉的次

5、数就是观察值,方差分析中的有关术语,5. 试验： 收集样本数据的过程称为试验。 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验 6. 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体 7. 样本数据 被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,8.1.2方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理(图形分析),从散点图上可以看出 不同行业被投诉的次数是有明显差异的 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同 家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低 行业与被投诉次数之间有一定的关系 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么

6、它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近,方差分析的基本思想和原理(图形分析),仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异 这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理(两类误差),随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本

7、各观察值之间的差异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 系统误差 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差,方差分析的基本思想和原理(两类方差),数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，零售业被投诉次数的方差 组内方差只包含随机误差 组间方差(betwe

8、en groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差,方差分析的基本思想和原理(方差的比较),若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1 若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数

9、是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响,1.比较两类误差，以检验均值是否相等 2.比较的基础是方差比 3.如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的,方差分析的基本思想和原理,每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四个行业被投诉次数的方差都

10、相等 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立,8.1.3 方差分析的基本假定,正态性的检验,各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*,等方差性的检验,经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。,其他说明,方差分析对前两个假设条件是稳健的， 允许一定程度的偏离。 独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集过程的控制来保证。 如果确实严重偏离了前两个假设条件，则需要先对数据进行数学变换，也可以使用非参数的方法来比较各组的均值。,设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1 , 2, , k 表示 要检验k个水

11、平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设： H0 ： 1 2 k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等 上例中：设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H0 ： 1 2 3 4 H1 ： 1 , 2 , 3 , 4 不全相等,8.1.4 问题的一般提法,8.2 单因素方差分析,8.2.1 数据结构 8.2.2 分析步骤 8.2.3 关系强度的测量 8.2.4 方差分析中的多重比较,8.2.1单因素方差分析的数据结构(one-way analysis of variance),8.2.2 分析步骤

12、 提出假设 构造检验统计量 统计决策,提出假设,一般提法 H0 ： m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等,构造检验的统计量,构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS),构造检验的统计量(计算水平的均值),假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为,式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总

13、体的第 j 个观察值,构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值),全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为,构造检验的统计量(例题分析),构造检验的统计量(计算总误差平方和 SST),全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为,前例的计算结果： SST = (57-47.869565)2+(58-47.869565)2 =115.9295,构造检验的统计量(计算水平项平方和 SSA),各组平均值 与总平均值 的离差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,前例的计算结果：SSA = 1

14、456.608696,构造检验的统计量(例题分析),构造检验的统计量(计算误差项平方和 SSE),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为,前例的计算结果：SSE = 2708,构造检验的统计量(三个平方和的关系),总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系,SST = SSA + SSE,前例的计算结果： 4164.608696=1456.608696+2708,构造检验的统计量(三个平方和的作用),SST反映全部数据总的误差程度；SSE反映随

15、机误差的大小；SSA反映随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小,构造检验的统计量(计算均方MS),各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用误差平方和除以相应的自由度 三个平方和对应的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n

16、为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k,构造检验的统计量(计算均方 MS),组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为,组内方差：SSE的均方，记为MSE，计算公式为,构造检验的统计量(计算检验统计量 F ),将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,构造检验的统计量(F分布与拒绝域),如果均值相等，F=MSA/MSE1,统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响 若FF ，则不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素对观察值没有显著影响,单因素方差分析表(基本结构),单因素方差分析(例题分析),思考：方差分析基本假定的含义 1、