7有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法讲义资料

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1、第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器 的设计方法,7.1 引言 7.2 线性相位FIR滤波器的特点 7.3 用窗函数法设计FIR滤波器 7.4 用频率采样法设计FIR滤波器 7.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较,7.1 引言,对应的系统函数:,因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示,比较、得：,FIR数字滤波器的差分方程描述:,FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理 的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信 号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中 非常重要； （2）可得到多带幅频特性； （3）极点全部在原点（永远稳定）

2、，无稳定性问 题； （4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是 满足； （5）无反馈运算，运算误差小。,7.2 线性相位FIR滤波器的特点,如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数序列， 而且满足偶对称或奇对称的条件，即,则滤波器就具有严格的线性相位特点。,一、线性相位特性 (1) h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 其系统函数为：,将m=N-1-n代入,即,上式进一步写成：,滤波器的频率响应为,可以看到，上式的以内全部是标量，如果将频率响应用相位函数()及幅度函数H()表示,那么有：,幅度函数H()是标量函数，

3、可以包括正值、负值和零， 而且是的偶对称函数和周期函数; 而|H(ej)|取值大于等于零, 两者在某些值上相位相差。 相位函数()具有严格的线性相位，如图7-3所示。,图7-3. h(n)偶对称时的线性相位特性,数字滤波器的群延迟()定义为,式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由上式可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。,其系统函数为,因此,H(z)=-z-(N-1)H(z-1),h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1

4、,h(n)奇对称的情况:,同样可以改写成,其频率响应为,所以有:,幅度函数H()可以包括正值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括/2的相移，如图7-4所示。可以看出，当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时， 还产生一个90的相移。这种使所有频率的相移皆为90的网络，称为移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。 当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。,图7-4 h(n)奇对称时的90o线性相位特性,二、 幅度响应特性,1. 第一种类型： h(n)

5、为偶对称，N为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式为：,可以看出，不但h(n)对于(N-1)/2 呈偶对称，而且 也对(N-1)/2 呈偶对称，即:,将内两两相等的项合并，幅度函数就可以表示为,令 ，则上式可改写为：,可表示为,式中:,n=1,2,3,(N-1)/2,由于cos(n)项对于=0,2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0, ，2也呈偶对称。,2. 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数,令，代入上式可得,因此,由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得,式中:,n=1,2, 3, , N/2,当=时， ，余弦项对=呈奇对称， 因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然

6、有一个零点，而且H()对=呈奇对称。 当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶对称，幅度函数H()对于=0, 2也呈偶对称。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。,3. 第三种类型： h(n)为奇对称，N为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下：,由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时，,因此，, 即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，式中， 也对(N-1)/2 呈奇对称。,因此，在中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，即,令 ， 则上式可改写为,即,式中:

7、,n=1, 2, 3, , (N-1)/2,由于sin(n)在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称，因此幅度函数H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上都有零点，且H()对于=0,2也呈奇对称。 如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。,4. 第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数,令， 则有,由于N为偶数，因此式中无单独项，全部可以两两合并得,因此,式中:,当=0, 2时， ，且对=0, 2呈奇对称，因此H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1处有一个零点，且H()对=0, 2

8、也呈奇对称。,当=时， 或1，则 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。 如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 上述四种线性相位FIR滤波器的特性示于表7-1中。,表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性,表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性,三、线性相位FIR滤波器的零点位置 线性相位FIR滤波器的系统函数为： H(z)=z-(N-1)H(z-1) 因此，若z=zi是H(z)的零点，即H(zi)=0， 则z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点，(H(zi-1)=zi (N-1) H(zi)=0） 当h(n)是实数时，H

9、(z)的零点必成共轭对出现， 所以 z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零点， 因而 线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。 这种互为倒数的共轭对有四种可能性：,图 7-5 线性相位FIR滤波器的零点位置图,由幅度响应的讨论可知， 第二种类型的线性相位滤波器 H()=0， 因此必然有单根 z=-1。 第四种类型的线性相位滤波器 H(0)=0, 因此必然有单根 z=1。 第三种类型的线性相位滤波器 H(0)=H(）=0， 因此必然有两种单根 z=1 。 了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线性

10、相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。,如果希望得到的滤波器的理想频率响应为:,窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近）,那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数,去逼近 ,逼近方法有三种：,7.3 用窗函数法设计FIR滤波器,一、设计方法 窗函数法是设计FIR数字滤波器最简单的方法。这种方法一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应 ，要求设计一个FIR滤波器频率响应, 去逼近理想的频率响应 。,因此，必须首先由理想频率响应 的傅里叶反变换推导出对应的单位脉冲响应:,窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的, 从单位脉冲响应序列着手，使h(n)

11、逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。,（7-36）,由于许多理想化的系统均用分段恒定的或分段函数表示的频率响应来定义，因此hd(n)一定是无限长的序列，且是非因果的。而我们要设计的是FIR滤波器，其h(n)必定是有限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最简单且最有效的方法是截断hd (n),式中如果采用简单截取，则窗函数为矩形窗。,矩形窗,通常，我们可以把h(n)表示为所需单位脉冲响应与一个有限长的窗口函数序列w(n)的乘积，即,h(n)=hd(n)w(n),的波形如下图所示：,相应的单位脉冲响应为：,hd(n)是一个中心点在的偶对称、无限长、非因果序列， 为了构造一个长

12、度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2 对称，故中心点a必须取a=(N-1)/2 。,例如，要求设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，假设理想低通滤波器的频率响应为：,（7-39）,设截取的一段用h(n)表示，则,理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,分析窗口函数法对频响产生的影响,逼近程度,根据复卷积定理，由 可得,h(n)的频率特性为：,H(ej)能否逼近Hd(ej)取决于窗函数的频谱特性W(ej),（7-42）,这里选用矩形窗RN(n)，其频谱特性为,幅频特性和相频特性为,（7-45）,式中：,其中，WR()是周期函数，主瓣宽度为4/N，两侧有许多衰

13、减振荡的旁瓣。通常主瓣定义为原点两边第一个过零点之间的区域。,若将理想滤波器的频率响应也写成,则其幅频特性,将式（7-45）和式（7-47）代入式（7-42），就可以得到实际设计的FIR滤波器频率响应为：,（7-47）,设,则实际设计的FIR滤波器的幅频特性为,显然，对实际FIR滤波器的幅频特性H()有影响的只是窗函数的幅频特性WR()。实际FIR滤波器的幅频特性是理想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的卷积。,（7-51）,卷积过程说明:,（1）=0 时的响应H(0)，根据式（6-38），响应应该是图中（a）和(b)两个函数乘积的积分，即H(0)等于WR()在=-c到=+c一段的积分面积

14、。通常c2/N，H(0)实际上近似等于WR()的全部积分（=-到=+）面积。,（2）=c时的响应H(c)，Hd()刚好与WR(-)的一半重叠，如图(c) 。因此卷积值刚好是H(0)的一半，即H(c)/H(0)=1/2，如图（f）。,(4)当 时， 主瓣全部在通带外都在Hd()的 通带（|c）之外，而通带内的旁瓣负的面积大于正 的面积，因而卷积结果达到最负值，频响出现负肩峰。,(3)当 时， 的主瓣全部在 的通带内，这时应出现正的肩峰。,(6)当 时， 的右边旁瓣将进入 的通 带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。,(5)当 时，随 增加， 左边旁瓣的 起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣

15、在通 带内的面积变化而变化，故 将围绕着零值而波动。,综上所述， 加窗函数处理后， 对理想频率响应产生以下几点影响： （1）H()将Hd()在截止频率处的间断点变成了连续曲线， 使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应WR()的主瓣宽度=4/N，即正肩峰与负肩峰的间隔为 4/N。窗函数的主瓣越宽，过渡带也越宽。 （2）在截止频率c的两边即=c(2/N)的地方，H()出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。,（3）改变N，只能改变窗谱函数的主瓣宽度，改变的坐标比例以及改变WR()的绝对值大小

16、。例如，在矩形窗情况下，,式中，x=N/2。,当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽度（4/N），但不能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例; 同样，也不会改变肩峰的相对值。这个相对比例是由窗函数形状决定的，与N无关。换句话说，增加截取窗函数的长度N只能相应的减少过渡带，而不能改变肩峰值。,由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减，所以对滤波器的性能影响较大。例如, 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，2/N减小，起伏振荡变密， 最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。,二、 各种窗函数 矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%，则阻带最小衰减为20 lg(8.95%)=-21 dB, 这个衰减量在工程上常常是不够大的。