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1、9. 自感与互感,在线性媒质中， 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。,式中L 称为回路的电感，单位为H （亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。,单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。,与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以 表示，令 与 I 的比值为L，即,应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。,互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。,若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相
2、反时，则使磁通链减少，互感为负值。,例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。,解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁感应强度为,与线圈电流 I2 交链的磁通链 21 为,若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS 与B1方向相同。那么,求得,若线圈电流为逆时针方向时，则B1与dS 反向， M21 为负。,但在任何线性媒质中， M21 = M12 。,10. 磁场的能量,若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。,由此可见，磁场具有能
3、量。,若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。,根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。,若以 Wm 表示磁场能量，那么,此式又可改写为,由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感十分方便。,考虑到 ，则单个回路电流周围的磁场能量又可表示为,式中 为与电流 I 交链的磁通链。,磁场能量的分布密度,已知 ，代入上式，得,利用矢量恒等式 ，上式又可写为,式中 V 为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令 S 为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的,当电流分布在有限区域时，磁场强度与距离平方成
4、反比，矢量磁位与距离一次方成反比，因此无限远处的面积分,再考虑到 ，求得,式中V 为磁场所占据的整个空间。可见，上式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。,若以小写字母 wm 表示磁场能量密度，则,已知各向同性的线性媒质， ，因此磁场能量密度又可表示为,可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。,11. 磁场力,已知,式中磁感应强度B1为,因此， B1 对于整个回路 l2 的作用力F21 为,那么，由回路电流 I1 产生的磁场 B1对于电流元 I2dl 的作用力 dF21为,同理，回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力F12 为,上述两式称为安培定律。
5、,根据牛顿定律得知，应该 。这个结论也可直接由上式获得证明。,如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。,为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。,下面直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。,设在电流 I1产生的磁场广义力 F 的作用下，使得回路 l2的某一广义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为 dWm 。,下面分为两种情况：,第一，若电流 I1 和 I2 不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为,两个回路中外源作的功分别为,两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广
6、义力作的功与磁场能量的增量之和，即,由此可见，两个回路中的外源作的总功 dW 为,求得常电流系统中的广义力F 为,即,第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外源作的功为零，即,那么，求得常磁通系统中广义力为,注意，广义力的方向规定为广义坐标的增加方向。,磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。,例1 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图示。,解 利用虚位移方法，且设位移过程中电流不变，则导线与电流
7、环之间的相互作用力为,式中,又知,代入上式,取广义坐标 l 为间距 D ，因 L11 及 L22 与D 无关，因此相互作用力为,又知导线与线圈之间的互感 M 为,求得,式中负号表明，作用力的实际方向为间距D 减小方向，这就意味着F 为吸引力。若两个电流之一的方向与图示方向相反，则M 为负，F 0，表明 F 为排斥力。,例2 计算电磁铁的吸引力。如图示。,解 由于铁芯可以近似当作理想导磁体，铁芯中的磁场强度为零，因而铁芯中没有磁能分布。这样，电磁铁产生的磁场能量仅分布在两个气隙中，因此总磁能 Wm 为,又知气隙中的磁通 ，代入上式得,由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作常磁通系统较为简便。,最后求得,式中负号表明F 为吸引力。,由此可见，电磁铁的吸力与磁铁的横截面面积及气隙中磁感应强度的平方成正比。,
