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1、问题：已知 在区间a,b上存在 唯一解 ，,求,第三章 常微分方程的差分方法,即求其近似值,1 欧拉（Euler）法 一、 Euler公式 初值问题 ，即, 近似关系式,格式或折线法的公式,折线法,二、隐式 格式,得, 近似关系式,隐式 格式,考察方程,三、两步 格式,得,则, 近似关系式,两步 格式,考察方程,四、梯形格式,将方程 的两端在区间 上积分得，,近似关系式,梯形格式,格式,将方程 的两端在区间 上积分得，,近似关系式, 格式,两端在 上求积分，并用 求积公式 计算积分值，则有,近似关系式,其中, 格式,五、改进的欧拉公式,嵌套形式,平均化形式,六、 方法的分类,其中,法的基本思想
2、, 显示格式, 隐示格式,线性多步法的一般形式,定义1 称某个差分格式具有m阶精度（代数精度），如果它的近似关系式对于次数 的多项式均能准确成立，而对于m+1次式不能准确成立.,七、 方法的精度分析,构造差分方法的基本思想： 1.差商代替导数 2.数值积分 3.预报校正系统(改进) 4.代数精度,5 收敛性与稳定性,一、收敛性,1定义：对于任何固定的 ，当步长 ， 有 ，则称此方法收敛.,2 格式的收敛性,这个问题的精确解为,模型方程,可见 格式解此模型方程是收敛的.,考察 格式的收敛性.此微分方程的格式为 从而数值解,如果一种差分方法在某节点xn上的值yn有大小为的扰动时，于其后的各节点 上
3、的值ym产生的偏差都不大于，则称这种方法是稳定的. 为简单起见，通常只针对模型方程,来讨论.,二、稳定性,先考察显式Euler格式的稳定性.模型方程 的Euler公式为,即,设节点值 上有大小为 的扰动，此误差的传播使节点值 产生大小为 的扰动值，若 格式的计算过程不再引进新的误差，则,所以要使,必有,此时 方法是稳定的.这表明 方法是条件稳定的.,误差方程,再考察用隐式Euler格式，对模型方程 的计算公式为,由于 ,则恒有 ,故恒有,因此，隐式Euler格式是绝对稳定的（无条件稳定的）（对任何h0）.,设节点值 上有大小为 的扰动，此误差的传播使节点值 产生大小为 的扰动值，若计算过程不再引进新的误差，则,即,作业 习题三 1(1)、2、5、10,课堂练习 习题三 1622,
