《《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)知识课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)知识课件（85页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第六节,一、 曲线的渐近线,二、 函数图形的描绘,函数图形的描绘,第三章,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为铅直渐近线.,例2. 求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3
2、. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,例3. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点),4),例4. 描绘方程,的图形.,解: 1),定义域为,2) 求关键点.,原方程两边对 x 求导得,两边对 x 求导得,3) 判别曲线形态,(极大),(极小),4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,又因,即,5) 求特殊点,为斜渐近线,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,例5. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图
3、形对称于 y 轴.,2) 求关键点,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,思考与练习,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,P76 14 (2); P169 2 ; 5,作业,第七节,备用题 求笛卡儿叶形线,的渐近线 .,解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线的参数方程
4、 :,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,叶形线,笛卡儿 叶形线,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点 动画开始或暂停,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处
5、的曲率为 0 !,转角为,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,
6、曲率应连续变化 .,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,例3. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向
7、一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,满足方程组,由此可得曲率中心公式,当点 M (x , y) 沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭
8、圆在,处曲率最大,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,例3,( 仍为摆线 ),例5. 求摆线,的渐屈线方程 .,解:,代入曲率中心公式,得渐屈线方程,摆线,摆线,摆线,摆线,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点,M 的轨迹即为摆线 .,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,曲率中心,思考与练习,1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求双曲线,
9、的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?,解:,则,利用,作业,第八节,P177 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9,三、一般迭代法 (补充),第八节,可求精确根,无法求精确根,求近似根,两种情形,(有时计算很繁),本节内容:,一、根的隔离与二分法,二、牛顿切线法及其变形,方程的近似解,第三章,一、根的隔离与二分法,(1) 作图法,1. 求隔根区间的一般方法,(2) 逐步收索法,由图可见只有一个实根,可转化为,以定步长 h 一步步向右,搜索,若,搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 .,2. 二分法,取中点,对新的隔根区间,重复以上步骤,反复进行,得,则误差满足,例1. 用二分法求
10、方程,的近似,实根时,要使误差不超过,至少应对分区间多少次 ?,解: 设,故该方程只有一个实根 ,欲使,必需,即,可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值,二、牛顿切线法及其变形,有如下四种情况:,牛顿切线法的基本思想:,程的近似根 .,记纵坐标与,同号的端点为,用切线近似代替曲线弧求方,在此点作切线 ,其方程为,令 y = 0 得它与 x 轴的交点,其中,再在点,作切线 ,可得近似根,如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :,称为牛顿迭代公式,牛顿法的误差估计:,由微分中值定理得,则得,说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与,异号的端点作,切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在,牛
11、顿法的变形:,(1) 简化牛顿法,若用一常数代替,即用平行,则得简化牛顿迭代公式.,线代替切线,得,优点:,因而节省计算量.,缺点: 逼近根的速度慢一些.,(2) 割线法,为避免求导运算 ,用割线代替切线,即用差商,代替,从而得迭代公式:,(双点割线法),特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.,说明: 若将上式中,则为单点割线法,逼近,根的速度与简化牛顿法相当.,例2. 用切线法求方程,的近似解, 使,误差不超过 0.01 .,解:,由草图可见方程有唯一的正实根 ,且,得,而,再求,因此得满足精度要求的近似解,三. 一般迭代法,(补充),在隔根区,按递推公式,则 即为原方程的根
12、.,式称为迭代格式 ,初值 .,否则称为发散 .,例3. 用迭代法求方程,解法1 将方程变形为,迭代格式为,发散 !,解法2 将方程变形为,迭代格式为,迭代收敛 ,1.32472 为计算精度范围内的所求根 .,定理.,(证明略),迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.,可以证明,下述定理:,内容小结,1. 隔根方法,作图法,二分法,2. 求近似根的方法,二分法,牛顿切线法,简化牛顿法,割线法,一般迭代法,思考与练习,比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 .,作业 (习题3-8) P182 1 ; 3,习题课,二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,一
13、、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或
14、缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理 .,例1. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界.,证: 取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证 .,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例3.,且,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,例4. 设实数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根 .,证: 令
15、,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例5.,设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且,分析: 所给条件可写为,(2003考研),试证必存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在 0, 2 上连续, 且在, 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,例6. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,二、 导数应用,1. 研究函数的性态:,增减 ,极值 ,凹凸 ,拐点 ,渐近线 ,曲率,2. 解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3. 其他应用 :,求不定式极限 ;,几何应用 ;,相关变化率;,证明不等式 ;,研究方程实根等.,4. 补充定理 (见下页),设函数,在,上具有n 阶导数,且,则当,时,证: 令,则,利用,在,处的 n 1 阶泰勒公式得,因此,时,定理.,的连续性及导函数,例7. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为
