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1、二、空间曲线的切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,一、一元向量值函数及其导数,引例: 已知空间曲线 的参数方程:, 的向量方程,对 上的动点M ,即 是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .,值函数.,要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.,定义: 给定数集 D R , 称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）, 记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨
2、论.,极限：,连续：,导数：,严格定义见P91,因此下面仅以 n = 3 的情形为代表,向量值函数导数的几何意义:,在 R3中, 设,的终端曲线为 ,切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停,表示终端曲线在t0处的,切向量,其指向与t 的增长方,向一致., 则,向量值函数导数的物理意义:,设,表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有,例1. 设,速度向量：,加速度向量：,解：,例2. 设空间曲线 的向量方程为,求曲线 上对应于,解:,的点处的单位切向量.,故所求单位切向量为,其方向与 t 的增长方向一致,另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为,= 6,例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升
3、气流影响作螺,求,旋式上升, 其位置向量为,(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;,(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;,(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.,解: (1),(3) 由,即,即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.,二、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.,置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位,给定光滑曲线, 在,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为,点向式可建立曲线的切线方程,1. 曲线方程为参数方程的情况,因此曲线 在点 M 处的,则 在
4、点M 的切向量为,法平面方程,给定光滑曲线,为0,切线方程,例4. 求曲线,在点 M (1, 1, 1) 处的切线,方程与法平面方程.,解：,点(1, 1, 1) 对应于,故点M 处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,思考: 光滑曲线,的切向量有何特点?,答:,切向量,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点, 且有, 可表示为,处的切向量为,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,也可表为,法平面方程,(自己验证),例5. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法2 方程组两边对 x 求导,
5、 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,三、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面 在点 M 的法向量:,法线方程,切平面方程,过M点且垂直于切平面的直线,称为曲面 在点 M 的法线.,曲面,时,则在点,
6、故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,例6. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解: 令,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),例7. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1
7、) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情况.,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,作业 P99 2，4，6，7，10，11，12,2. 设 f ( u ) 可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,备用题1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,
