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1、第 七 节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况,一解,两解,一解,一解,无解,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比; 在ABC中,若sinAsinB,则AB; 在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素; 正弦定理对钝角三角形不成立; 在ABC中, 其中正确的是() A. B. C. D.,【解析】选C.错误.由正弦定理知abc= sinAsin
2、BsinC. 正确.由正弦定理知sinA= ,sinB= ,由sinAsinB得ab, 即AB. 错误.当已知三个角时不能求三边. 错误.正弦定理对任意三角形都成立. 正确.由正弦定理结合比例的性质可证明.,2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321,那么对应的三边之比abc=() A.321 B. 21 C. 1 D.2 1,【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180，可解得 A=90，B=60，C=30，所以abc=sin Asin B sin C=1 ,即abc=2 1.,3.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于( ) 【解析】选D.因为 所以 所以sin B
3、又因为ab，A60，所以B60， 所以cos B,4在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a 2bcos C，则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选C.因为a2bcos C，所以由余弦定理得：a 整理得b2c2，则此三角形为等腰三角形,5.(2014咸宁模拟) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若sin A= sin C，B=30，b=2，则边c= . 【解析】依题意得，sin A sin C，即a c，根据余弦 定理可得b2a2c22accos B，即43c2c22 c2 ， 解得c2
4、. 答案：2,6.(2014长沙模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a,b,c,若b2+c2-a2-bc=0,则A= . 【解析】由b2+c2-a2bc =0得 b2+c2-a2=bc,所以 所以A=60. 答案：60,考点1 正弦定理的简单应用 【典例1】(1)在ABC中,A=60,a= ,b=2,那么满足条件的 ABC() A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定,(2)(2014岳阳模拟)如图，在ABC中，AB=AC=2，BC=2 ， 点D在BC边上，ADC=75，则AD的长为 . (3)在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若 A=2B，则cos B
5、= .,【解题视点】(1)通过具体计算的方法或数形结合的方法求解. (2)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解. (3)由两边之比联想用正弦定理,化为两角的正弦值之比,再利用二倍角公式化简.,【规范解答】(1)选A.方法一：因为 又A=60，且ab，所以B60，故B45，所以 有一个解. 方法二：结合草图，因为A60,a= ,b=2所以ab,故三角 形有一个解.,(2)过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE 中， 故B=30. 在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105. 由正弦定理得 答案：,(3)由正弦定理得 又A=2B， 所以 所以cos B= .
6、答案：,【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中，a,b,c分 别是三个内角A,B,C的对边，A=2B”,试求 的取值范围.,【解析】由正弦定理得 因为ABC是锐角三角形， 所以 所以 即 ，所以 所以 即 的取值范围是,【易错警示】注意角的范围的确定 本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时，要注意应保证三个内角都是锐角，否则易出现范围过大的情况.,【规律方法】 1.正弦定理的应用技巧 (1)求边：利用公式 或其他相 应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解. (3)相同的元素归到等号的一边：即 可应用这些公式解决边或角的比
7、例关系问题.,2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. 提醒：利用正弦定理解三角形时，要注意解的个数的判断.,【变式训练】已知在ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是( ) A.x2 B.x2且xsin 452， 所以2x2 .,【加固训练】 1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于( ) A.10+ B.10( -1) C. +1 D.10 【解析】选B.A=180-(BC)=180-(60+45)=75. 由正弦定理，得
8、,2.(2014绵阳模拟)在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为 a,b，若2asin B= b，则角A= . 【解析】由正弦定理得2sin Asin B= sin B,又sin B0, 故sin A= ,又0A90，所以A=60. 答案：60,考点2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2014青岛模拟) 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( ) A.8a10 B.2 a C.2 a10 D. a8 (2)(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( ),【解题视点】(1)根据锐角三角形三边关
9、系,并结合余弦定理求解. (2)将条件统一为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.若a是最大边，则 所以3a ； 若3是最大边，则 所以2 a3； 当a=3时符合题意，综上2 a ，故选B.,(2)选B.由题设条件可得 由余弦定理，得 所以,【规律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理解三角形的注意事项 (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,要充分利用方程思想“知三求一”. (2)已知三边及一角求另两角的两种方法：利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注
10、意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断.,【变式训练】在ABC中，若abc=357,则这个三角形 中最大内角为( ) A.60 B.90 C.120 D.150 【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0)，则c为最大边，角C为 三角形中最大内角， 由余弦定理，得 所以C=120.,【加固训练】 1.在ABC中，若a=c=2,B=120,则边b=( ) 【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B= 4+4-222(- )=12，所以b=2 .,2.在ABC中，C=60，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则 = . 【解析】因为C=60
11、,所以a2+b2-c2=ab， 所以a2+b2=ab+c2， 等式两边都加上ac+bc，整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)， 所以 答案：1,考点3 正、余弦定理的综合应用 【考情】正、余弦定理的应用很广泛，也比较灵活.在高考中三种题型都有可能出现，主要考查边角的计算、三角形形状的判断等问题.,高频考点通关,【典例3】(1)(2013陕西高考)设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 则ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 (2)(2013山东高考)ABC的内角
12、A,B,C的对边分别是a,b,c，若B=2A，a=1，b= ，则c=( ) A.2 B.2 C. D.1,【解题视点】(1)利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判断三角形的形状. (2)根据角的关系结合正弦定理求出角A，然后求出角B，C后再求解.,【规范解答】(1)选A.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦 定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A,sin A=1,即A= ，所以三角形ABC是直角三角形. (2)选B.由B=2A,则sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以cos A= ，
13、所以 所以C=BA= ，所以c2=a2+b2=1+3=4， 故c=2.,【通关锦囊】,【关注题型】 【特别提醒】在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种情况的可能.,【通关题组】 1.(2014潍坊模拟)在ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 【解析】选B.因为 ， 所以 ，所以 所以 所以c2a2b2. 所以ABC为直角三角形.,2.(2014武汉模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且AB
14、C，3b=20acos A，则sin Asin Bsin C为( ) A.432 B.567 C.543 D.654,【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,所以3b=20acos A = 整理得： 解得b=5或b=- (舍去), 可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.,3.(2014厦门模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a,b,c，若acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bc，则 角B= . 【解析】由b2+c2-a2= bc，得 所以A=30.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A= sin Csin C，即sin(A+B)
15、=sin Csin C=sin C，解得 sin C=1(sin C=0舍去)，所以C=90，所以B=60. 答案：60,【加固训练】 1.(2014嘉兴模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c,满足 (1)求角C. (2)求 的取值范围.,【解析】(1) 化简得a2+b2-c2=ab，所 以 (2) 因为A（0， ），所以 所以 故 的取值范围为(1,2.,2.(2014长沙模拟)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，求证： 【证明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B， 所以a2-b2=b2-a2-2bcc
16、os A+2accos B. 整理，得 由正弦定理，得 即,方法二：右边 故,【规范解答5】正、余弦定理在三角形中的应用 【典例】(12分)(2013江西高考)在ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c，已知cos C+(cos A- sin A)cos B=0. (1)求角B的大小. (2)若a+c=1，求b的取值范围.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)在ABC中，因为ABC， 所以-cos(A+B)+cos Acos B- sin Acos B=0，2分 即sin Asin B- sin Acos B=0, 因为sin A0，所以sin B- cos B=0, 4分 cos B0，所以tan B= , 又0B， 所以B . 6分,(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-
