《2013新课标高考数学理一轮复习课件:2.8 函数模型及其应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013新课标高考数学理一轮复习课件:2.8 函数模型及其应用(31页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1几类函数模型 (1)一次函数模型:_ (2)二次函数模型: _ (3)指数函数模型: _ (4)对数函数模型: _ (5)幂函数模型: _ 2函数模型的应用实例 根据收集的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程如下:,yaxb(a0),yax2bxc(a0),ymaxn(m0,a0,a1),ymlogaxn(a0,a1,m0),yaxnb(a0,n1),1某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系式较为近似的是 (),答案C,2用固定的速度向右图形状的瓶子中注水,则水面的高
2、度h和时间t之间的关系图象是 (),解析:开始时,高度增加比较缓慢,随着时间的推移高度增加变快故选B. 答案:B,3设甲、乙两地的距离为a(a0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 (),解析:注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,用定性分析法不难得到答案为D. 答案:D,4若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为 (),解析:函数关系式为h205t.故选B.
3、答案:B,1函数模型的应用实例 解函数应用问题,一般可按以下四步进行 第一步:阅读理解,认真审题,即读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息 在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与函数值的意义,尝试问题的函数化在审题时,要抓住题目中的关键量,要勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化,第二步:引进数学符号,建立数学模型一般设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题中的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式
4、,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型 第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果 第四步:转译成具体问题作出回答,2有关logax,xn和ax的研究 一般地,对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,)上,尽管在一定范围内,ax会小于xn,但ax的增长速度快于xn的增长速度,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.同样,对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0),在区间(0,)上,随着x的增大,logax增长得越来越慢,图象就像渐渐与x轴平行一样尽管在一定范围内,logax可能
5、会大于xn,但logax的增长速度慢于xn的增长速度,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn.,综上所述,在区间(0,)上,尽管函数yax(a1)、ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上随着x的增大,yax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度,而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢,因此总会存在一个x0,当xx0时,就有logaxxnax.,考点一一次函数问题 【案例1】某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格
6、退回报社在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?该销售点一个月最多可赚多少元?,(即时巩固详解为教师用书独有),关键提示:每月所赚的钱卖报总的收入付给报社的钱而总的收入分为3部分:在可卖出400份的20天里,卖出x份,收入为0.5x20元;在可卖出250份的10天里,在x份报纸中,有250份报纸可卖出,收入为0.525010元;没有卖掉的(x250)份报纸可退回报社,报社付出(x250)0.0810元注意写出函数式的定义域,解:设每天应从报社买进x份报纸 由题意知2
7、50 x400. 设每月赚y元,得 y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x300.3x1 050,x250,400 因为y0.3x1 050是定义域上的增函数, 所以当x400时,ymax1201 0501 170(元) 答:每天从报社买进400份报纸,所获的利润最大,每月最多可赚1 170元,【即时巩固1】某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km.火车出发10 min后,以120 km/h的速度匀速行驶,且火车在前10 min内共行驶了13 km.试写出火车行驶的路程s km与匀速行驶的时间t h之间的函数关系式,并求火车行驶2 h的路程,考点二二次函数问题
8、【案例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流出x万人去加强第三产业分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0x100),而分流出的从事第三产业的人员,平均每人每年可创造产值1.2a万元在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? 关键提示:“保证第二产业的产值不减少”转译为数学语言是一个“二次不等式模型”,“该市第二、三产业的总产值增加最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”,解:设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足(100 x)a(12x%
9、)100a, 因为a0,x0,可解得0x50, 设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元 则f(x)(100 x)a(12x%)1.2ax100a 0.02a(x2110 x) 0.02a(x55)260.5a, 因为x(0,50且f(x)在(0,50上单调递增, 所以当x50时,f(x)max60a. 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多,解:若按原来的投资方式,由题设知,每年只需从60万元专款中拿出40万元投资,可获最大利润10万元 这样10年总利润最大值为W1010100(万元),考点三分段函数问题 【案例3】某公司生产某种电子
10、仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元已知总收益满足函数R(x) (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?,关键提示:(1)因为总收益总成本利润,所以利润总收益总成本因为R(x)是分段函数,所以f(x)也是分段函数(2)分别求出f(x)各段中的最大值,通过比较就可以求出f(x)的最大值 解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000100 x,,当x300时,有最大值25 000. 当x400时,f(x)60 000100 x是减函数, f(x)60 00010040025 000. 综上,当x300时,
11、有最大值25 000. 答:月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25 000元,解:根据题意,商品的价格随着时间t变化,所以应分类讨论,设日销售额为F(t) 当0t20,tN时,,所以当t20时,F(t)max161. 综上,当t10或t11时,日销售额最大,最大值为176.,考点四指数函数问题,(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_ _ (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过_小时,学生才能回到教室,【即时巩固4】设在海拔x m处大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系是yCekx,其中C、k是常量已知某地某日海平面的大气压为1.01105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90105 Pa.求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字),将C1.01105代入0.90105Ce1 000k,得 0901051.01105e1 000k,所以0.91.01e1 000k. 两边取以e为底的对数(自然对数),得 所以y1.01105e1.15104x. 将y600代入,得 y1.01105e1.151046000.943105. 答:600 m高空的大气压强约为0.943105 Pa.,