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1、微积分基本定理,一、变上限积分与对积分上限变量求导数 二、微积分基本定理,如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区 间a,b内物体的位移s可以用定积分表示为,另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a)， 所以又有,由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).,一、变上限积分与对积分上限变量求导数,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上
2、限x的函数.,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为,证明,由积分中值定理有,结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).,由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,定理6.4(原函数存在定理),定理6.5(微积学基本定理),二、微积分基本定理,证明,上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.,牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x) 的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的 增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,
