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1、3.2 洛必达法则,一、洛必达法则,二、未定式的解法,三、小结,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,高等数学,两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限 , 随着无穷小量或无穷大量的形式不同 , 极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷大量 , 为此, 我们称这类极限为“未定式”,记为,以下各类极限称为未定式的极限：,其中,0表示无穷小；表示无穷大；1表示以1为极限的变量,未定式的极限,一、洛必达法则,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,设(1) 当xa时,函数f
2、(x)及F(x)都趋于零,(2)在a的某去心邻域,f (x)及F(x)都存在,且F(x)0;,存在或为无穷大,则,当xa+, xa-, x, x+, x-时该法则仍成立.,证,定义辅助函数,f1(x) ,F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有,在U(a,)内任取一点,在以a与x为端点的区间上,运用罗必达法则时的注意事项,在运用罗必达法则时 , 若 不存在,但也不是无穷大 , 则不能说明 不存,在 . 此时应重新另找其它方法进行计算 .,罗必达法则只限于求 型极限,其它类型,应首先化成这两种形式才能用罗必达法则 .,在运用罗必达法则求极限过程中, 极限存在并且不等于零的因子可以提出来, 这样可使
3、问题简化.,在运用罗必达法则求极限过程中, 尽可能运用等价无穷小替代方法, 它往往可使问题得到明显的简化.,如果在使用罗必达法则后, 仍是,条件 , 则可继续使用罗必达法则 .,型极限,f(x),g(x)仍满足罗必达法则,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7,解,关键:化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,二、未定式解法,0, -,00,1, 0未定型的解法,1. 0型,例8,解,步骤:,2. -型,步骤:,例9 求,解,3. 00,1, 0型,例10,解,例11,解,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,三、小结,思考题,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,练 习 题,练习题答案,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,高等数学,
