《高等数学4-2换元积分法教学教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学4-2换元积分法教学教材（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,2. 换元积分法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理1,例2 求,解（一）,解（二）,解（三）,原式,一般地，有,例3 求,解,原式,一般地，有,例4 求,解,原式,原式,一般地，有,一般地，有,例5 求,例6 求,例,定义1：,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理1,一般地，有,所以,类似地,例7 求,所以,例8 求,解,例9 求,所以,例10 求,对被积函数进行恒等变形，再使用换元积分法的例：,由于,解,所以,例11 求,所以,类
2、似地,以上施行的是将分子加项减项的恒等变形； 也可将被积函数同乘、同除一个函数，化为容易 积分的形式.,例12 求,下面再举一些含三角函数的积分的例子，有时需 要先用三角公式作恒等变形，化成容易积分的形式。 常用的三角公式有：,同角公式：,积化和差：,倍角公式：,（由公式）,所以,类似地,例13 求,特殊类型三角函数的积分：,1. 形如,积化和差.,例14 求,2. 形如,(1) m，n中有一个为正奇数：,(2) m, n均为正偶数：,降幂,特殊类型三角函数的积分：,1. 形如,积化和差.,例15 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例16 求,解,又如,计算量大！
3、,又如,3. 形如,(m,n为正整数),(1) m为奇数时,(2) n为偶数时,(m为偶数且n为奇数时，可用分部积分法),特殊类型三角函数的积分：,解,例17 求,解,例18 求,例19 求,解,例20 求,解,此题有三种解法,例21 求,解,例22 求,原式,例23 求,解 法一,法二,例24 求,解,解,例25 设 求 .,令,第一类换元法,(不易求积),(易求积),相反的情况,(不易求积),(易求积),这就是第二类换元法.,二、第二类换元法,将(2)式右端求导，同时注意到(1)式，得,(2)式得证.,证,第二类积分换元公式,例26 求,解,令,例27 求,解,令,例28 求,解,令,说明
4、(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),例29 求,（三角代换很繁！）,令,解,例30 求,解,令,说明(4),设m,n分别为分子、分母关于x的最高次数, 当n-m1时，可采用倒代换：,例31 求,解,令,例32 求,令,解,例33 求,解,令,基本积分表 ,小 结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题解答,思考题,求积分,练 习 题,练习题答案,
