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1、1,概率论与数理统计,(十六)开始 王柱 2013.05.06,2,概率论与数理统计,王柱,第四章 部分作业答案,3,1,5,3,6,1.,2.,3.,7,5,8,5.,9,13,10,13.,11,14,12,民航送客车载由20位旅客出发,可有10个站下车.没有下车客就不停车.设各旅客在各站下车是等可能的. 以X表示停车次数。求E(X) 。,解：引入随机变量 Xi=0,在第i站没有人下车; =1,在第i站有人下车; i=1,2,10 。,显然, X=X1+X10 注意： 任一旅客在第i站不下车的概率为 9/10, 20位旅客在第i站都不下车的概率为 (9/10)20, 在第i站有人下车的概率
2、为 1-(9/10)20; E(Xi) = 1-(9/10)20 , i=1,2,10 。 E(X) = 10*E(Xi) =10( 1-(9/10)20 )=8.78。,13,16,1),14,16,2),15,16,17,17,18,19,19,20,20,21,22,21,23,24,23,25,不独立.,不相关.,26,例8 :设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为 4 和 2，则随机变量 的方差是 ：,（a） 8 （b） 16 （c） 28 （d） 44,例16-1.,例9: 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示 正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数
3、 等于：,（A）-1（B） 0 （C）1/2 （D） 1,例16-2.,28,例10 : 设二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布，则 随机变量 X+Y 与 X-Y 不相关的充分必要条件为,（a） （b） （c） （d）,例16-3.,例11:设两个相互独立随机变量 X 和 Y 分别服从 正态分布 和 ，则有 ：,（A）（B） （C）（D）,例16-4.,30,定义: 设X是具有分布函数F的随机变量。若X1,X2, Xn是相互独立且具有同一分布的n个随机变量,则称X1,X2,Xn为从分布函数F(或总体F 、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值x1,x2,xn称为样
4、本值,又称为X的n个独立观察值.,第六章 样本及抽样分布,6.2随机样本,总体均可视为无限总体; 抽出的部分(n个)个体为一个样本,亦视为有放回抽取; 保证抽样为独立、同分布的随机样本 其个数为样本容量。,31,定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本, 若g是连续函数且g中不含任何未知参数,则称 X1,X2,Xn的函数g(X1,X2,Xn )是一个统计量. 又设x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本值, 则称g(x1,x2,xn )为g(X1,X2,Xn ) 的观察值.,统计量是样本的函数,它是一个随机变量. 统计量的分布称为抽样分布.,32,定义 设X1,X2,Xn是来自总体
5、X的一个样本, x1,x2,xn是相应于X1,X2,Xn的样本观察值.,6.2.2 几个常用的统计量,样本平均值:,样本方差:,样本标准差:,33,样本k阶(原点)矩:,样本k阶(中心)矩:,34,我们指出:若总体X的k阶矩存在,记为E(Xk)= k ,则当 n 时（辛钦定理）,进而，对于连续函数g(x1,xk)，由依概率收敛序列的性质知,35,记 是上述样本的一组观察值，将其各个分量 按照大小递增的次序排列，得到： 。,当 取值 时，定义 取值 ，由此得到的 或它们的函数都称为顺序统计量。,顺序统计量与样本分布函数,36,（1）样本中位数（Sample Median）：,（2）样本极差（Sa
6、mple Range）：,较常用的顺序统计量有：,37,记,显然， ，它作为 的函数具有一个 分布函数所要求的性质，故称为总体 的样本分布函 数或经验分布函数 。,38,是样本的函数，它是一个随机变量。,即， 几乎处处一致收敛到 。,的值表示在 次重复独立试验（ 次 抽样）中，事件 发生的频率。 因此， 。其中 。,39,6.3.2 2分布,为服从自由度为 n 的 2 分布, 记为2 2(n),设X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称 统计量,演示26！,* 6.3 抽样分布,6.3.1 正态分布,40,6.3.3 t分布,为服从自由度为 n 的 t 分布,记为t t(n),设 X
7、 N (0,1) , Y 2(n) , X 与 Y 相互独立. 则称统计量,t 分布,又称为学生氏(Student)分布.,演示27！,41,6.3.4 F分布,为服从自由度为 (n1,n2) 的 F 分布,记为F F(n1,n2). 显然,设 U 2(n1), V 2(n2) , U 与 V 相互独立. 则称统计量,演示25！,42,定理6.3.1 设 是来自总体 的样本， 是样本均值，则有：,在大样本场合下，无论总体服从何种分布，只要 均值和方差存在，也有,6.3.5 正态总体的样本均值与样本方差的分布,43,定理6.3.3 ：,设X1,X2,Xn是来自总体N(, 2)的样本,为样本均值和
8、方差,则有,1.,2.,44,定理6.3.4 ：,设X1,X2,Xn是来自总体N(, 2)的样本,为样本均值和方差,则有,45,定理6.3.5,设X1,X2,Xn1与Y1,Y2,Yn2分别是来自具有 相同方差的两正态总体N(1, 2), N(2, 2)的样 本,且这两个样本相互独立.这两个样本的均值为,这两个样本的方差为,记,46,则有 (2)：,则有 (1)：,47,定理6.3.2 设 是总体 的概率密度函数， 是来自总体的简单随机样本， 是它的一个顺序统计量，则其联合概率密度函数为,顺序统计量的分布,48,(1) 分布的上 分位点,则称 为该分布的上 分位点. 如:正态分布 、 t 分布、
9、 2分布、 F 分布、.等的上 分位点. 请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0 1, 若 满足条件,* 6.4 分布的分位（数）点,49,(2) 分布的下 分位点,则称 为该分布的下 分位点. 如:正态分布 、 t 分布、 2分布、 F 分布、.等的下 分位点. 请注意：,设 X为一个随机变量,其分布为F,对任意0 1, 若 满足条件,50,(3) 对称分布的 双侧分位点,则称 为该分布的双侧 分位点。 如:正态分 布 、 t 分布、 .等的双侧 分位点。请注意：,设 X为一个随机变量,其分布密度为对称的,对任意0 1, 若 满足条件,51,正态分布N(0,1)的下、(上) 分
10、位点记为:,t (n)分布的下、(上) 分位点记为:,2(n)分布的下、(上) 分位点记为:,F (n1,n2)分布的下、(上) 分位点记为:,52,由对称性得,2。对于n45的 分布的（上）分位点由下式近似得到,u1-为标准正态分布的（上）分位点.,1。正态分布的（上）分位点可查附表2.,53,3。 为 分布的下分位点.,对于n45的 分布的（下）分位点由下式近似 得到,u为标准正态分布的下分位点.,4。对于 分布的下分位点可查附表5. 表中无有的可由右式得出:,54,举例,1。正态分布的（上）分位点可查附表2。(p326),55,2。对于n=45的 分布的（上）分位点可查附表3; (p32
11、7),56,对于n45的 分布的（上）分位点由下式近似得到,其中 u1-为标准正态分布的（上）分位点.,57,3。 为 分布的下分位点.,对于n=45的 分布的（下）分位点可查附表4. (p328-329),58,对于n45的 分布的（下）分位点由下式近似 得到,其中，u为标准正态分布的下分位点.,59,4。对于 分布的下分位点可查附表5. (p330-338),表中无有的可由右式得出:,60,设 总体X的分布函数 的形式为已知, 是待估参数. X1,X2,Xn为X的一个样本, x1,x2,xn为相应的样本值.点估计问题就是要 构造k个适当的函数 , 分别用 估计未知参数 ，则称 是的 估计值
12、。,第七章 参数估计,* 7.1.点估计,定义: 我们称 为i 的估计量, 为i的估计值, 在不致混肴的情况下 统称为估计,并都记为 , .,61,例7.1.2 、设某种罐头的重量 ，其中参数 及2都是未知的，现随机地抽测8盒罐头，测得重量(单位：克)为 453 457 454 452.5 453.5 455 456 451试求及2的矩估计值.,解:因为是全部罐头的平均重量，而 是样本的平均 重量，因此自然会想到用样本均值 去估计 。 同样，用样本方差 去估计总体方差 2，即 有 ,由测得重量值，可算得 和 的值分别是 ， 故有 。,下面介绍两种构造估计量的方法.,例16-5.,62,设 总体
13、X为连续型随机变量，其密度函数为 f(x ;1 , 2 , m),或X为离散型随机变量,其分布律 为PX=x=p(x ;1 , 2 , m), 其中1 , 2 , m 是待估参数. X1,X2,Xn是来自X的一个样本.,7.1.2 点估计方法 1矩估计法,又设 总体X的前m阶矩存在.一般来说,它们是1 , 2 , m的函数.基于样本(原点)矩依概率收敛于相应的总体(原点)矩; 样本(原点)矩的连续函数依概率收敛于相应的总体(原点)矩的连续函数,我们就用样本(原点)矩作为总体(原点)矩的估计量;样本(原点)矩的连续函数作为相应总体(原点)矩连续函数(包括了中心矩)的估计量.这种估计方法称为矩估计
14、法.,63,例7.1.3 、 X在 (a, b)上均匀分布. a, b则未知, X1, X2,Xn是一个样本.用样本矩来估计a, b 的值。,解:已知,有:,得:,例16-6.,64,例7.1.4 、设总体服从参数 的指数分布， 求 的矩估计量.,则,解: 由题意得：,即,设 X1, X2,Xn 是来自总体的样本, 的估计量为,故,例16-7.,65,一般地讲，设总体X的分布函数 的 类型已知，但其中包含m个未知参数 ， 则总体X的k阶矩也是 的函数，记,可以解出:,假定从方程组,66,我们看到，矩估计法直观而又便于计算，特别是在对总体的数学期望及方差等数字特征作估计时，并不一定要知道总体的分
15、布函数。但是，矩估计法要求总体的X 原点矩存在，若总体的原点矩不存在，那就不能用矩估计法。,设 是总体的一个样本。用 来估 计 ,然后代入上式的 中，得到 的估计量 ，其中 。,67,(1)设 总体X为离散型随机变量,其分布律为PX=x =p(x ;), 其中 的形式为已知, 是待估参数, 是的可能取值范围. X1,X2,Xn是来自X的一个 样本.则 X1,X2,Xn的联合分布律为,2 极大似然估计法,又设 x1,x2,xn为相应的样本值.易知 X1,X2,Xn取到 x1,x2,xn的概率为,68,这一概率随 的取值而变化,它是 的函数,L( )称为样本的似然函数.,这样得到的 与样本值x1,x2,xn有关,常记为 (x1,x2,xn) ,称为参数 的极大似然估计值. 统计量 (X1,X2,Xn)称为参数 的极大似然估计量.,极大似然估计法(由费希尔R.A.Fisher提出的),就是 固定样本的观察值x1,x2,xn , 在 取值的可能范围 内挑选 使概率L(x1,x2,xn ; )达到最大的参数 值 ,作为参数 估计值. 即取 使,69,例4、设X1, X2,Xn是来自参数为1,p的二项分布 的一个样本.求参数p的极大似然
