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1、2 柯西中值定理和 不定式极限,一、柯西中值定理,柯西中值定理是比拉格朗日定理更一,定式极限的问题.,般的中值定理，本节用它来解决求不,二、不定式极限,返回,上满足:,(i) f(x) , g(x) 在闭区间 a, b 上连续;,(iii),(iv),则在开区间 内必定 (至少) 存在一点 , 使得,一、柯西中值定理,(ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导;,几何意义,首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程,它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理,恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图):,的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 )
2、的导数,证 作辅助函数,显然, 满足罗尔定理的条件, 所以存在点,使得 , 即,从而,例1 设函数 f 在区间 a, b(a 0) 上连续, 在(a, b),证 设 , 显然 f (x), g(x) 在 a, b 上满足,柯西中值定理的条件,于是存在, 使得,变形后即得所需的等式.,上可导, 则存在, 使得,在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无,二、不定式极限,究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则.,称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研,比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统,穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限,定理6.6,则,证,注,根据归结原
3、理,结论同样成立.,例,解,例2,解,存在性.,这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的,代换，其目的就是使得计算更简洁些.,例3,解,法则. 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些.,例4,解,定理6.7,则,证,从而有,另一方面，,上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定,这就证明了,的 x 有,注,件要作相应的改变.,例5,解,例6,解,例7,解,(3) 式不成立. 这就说明:,我们再举一例:,例8,所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：,这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法,则前，必须首先要判别它究竟是否是,3. 其他类型的不定式极限,解,但若采用不同的转化方式:,很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果.,例9,解,由于,因此,例10,解,例11,所以，原式 = e0 = 1.,例12,解,例13,解,例14,证 先设 A 0. 因为,根据洛必达法则，有,同样可证 A 0 的情形.,所以由本章第节例，得,为什么？,由上面的讨论，得到,复习思考题,
