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1、三、 n阶常系数齐次线性方程解法,二、二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性微分方程,第四节,一、常系数线性微分方程的标准形式,第九章,一、常系数线性微分方程的标准形式,n 阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性方程解法,欧拉待定指数法(或特征方程法):,将其代入方程(4.1), 得,故齐次线性方程(4.1)的通解为,(4.3) 有两个相等的实根：,得(4.1)的一特解为:,0,0,得齐次线性方程(4.1)的通解为,(4.3)有一对共轭复根:,得(4.1)的两个复值特解:,由 欧拉公式 ，得,重新组合
2、：,故齐次线性方程(4.1)的通解为,例1,.,解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,解,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例4,例5,解,例6,解,三、n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,解,特征方程为,特征根：,(1) 当a = 0 时，,特征根：,所求通解为,例7,(2) 当a 0 时，,特征根：,所求通解为：,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例8,内容小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),求微分方程 的通解.,思考题,思考题解答,令,则,特征根,通解,(方法1), 关于p的 = -1 的伯努利方程,(方法2), ,太繁！,例5-1,解,例5-2,解法1,解法2,
