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1、1,第 一 讲 F-H定理和维里定理及其应用,物理学专业2008级 2011-2-21,2,一.费曼海尔曼定理（Feynman-Hellmann定理）,即,prove：,费曼海尔曼定理 （F-H定理）,设量子体系的哈密顿算符 中含有参数 ， 的束缚本征函数为 ，相应的本征值为 ，则,对求导数，得,的本征方程,3,取,应用举例：,solve：,5,二.维里定理（Virial定理）,设粒子的势能 是 的 次齐次函数，则 其中， 为动能平均值， 为位能平均值,数学中将满足以下关系 的函数 称为 的 次齐次函数， 并有欧勒定理,prove：,因 是 的 次齐次函数，所以有,6,海森堡方程：,由此得到：
2、,设 是 的本征函数,7,8,特 例：,（1）谐振子,（2）库仑场,（3） 次中心势场,9,Ex1:,solve：,（2）,（1）,即,又,（1）代入（2）, 消掉 , 即得：,设 是氢原子力学量完全集 的共同本征函数， 是半径，求以下各平均值,10,2. 求,由,有,11,根据费曼海尔曼定理，有,氢原子的径向方程,将以结果代入，得到,3. 求,12,令,乘以上式，并积分,则径向方程变为,其中,边界条件,13,因,即平均值,所以,14,Ex2:,Solve：,设 的本征值为 ，由F-H定理,而另一方面，在 的本征态中，有：,（1）,15,（2）,将（2）式代入（1）式得,积分常数,由 知,最后得,可见，加上阻尼 后，能级较原来的相应能级降低了。,
