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1、第6章 回归模型的假设检验,回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。 在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。,变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。 计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。,第一节 假设检验,所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是
2、否合理，从而判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的,1、显著性检验t检验,t值是用来检验根据OLS估计出来的回归系数是否显著的统计量。,对于一元线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：,在上述收入-消费支出例中，首先计算2的估计值,t统计量的计算结果分别为：,给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝截距项为零的假设。,2、显著性检验F检验,F检验属于回归方程
3、的显著性检验，它是对所有参数感兴趣的 一种显著性检验。其检验步骤为：,第二步：构造F统计量。 可以证明：,(2.4.6),即F统计量服从第一自由度为，第二自由度为n-2的t分布。 F统计量的计算一般通过下列方差分析表进行。,第三步：给定显著水平 ，查F分布临界值得到 第四步：做出统计决策,例2.3.2仍以例2.2.1资料为例，F检验过程如下：,第二步：计算F统计量 因为ESS1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。,40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取 自输出结果
4、2.2.1中的方差分析部分“残差（行） SS（列）” (40158.071)。(见方差分析表2.3.4),或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4),y,的线性相关,因为F=399.09999,三，结构变化的F检验,结构变化的F检验，也成为Chow test，用于调查，检验经济分析中一个极其重要的问题，即“是否存在结构变化”。 步骤1：在利用时间序列所做的回归分析中，找出估算期间内发生结构变化的时点（分界点），以此时点为标准，将期间分为前期和后期。 步骤2：对前期，后期，全部期间进行回归分析，求各自的残差平方和 。 步骤3
5、：根据结构变化的F检验公式，计算F值。,步骤4: 利用F分布表，对步骤3计算出的F值进行检验。在检验时，分别就上述（1）的情形中，自由度（分子，分母）= ，(2)的情形中，自由度 进行F检验。,如果计算出的F值大于F分布表中的判定值，放弃“前期的回归系数与后期的回归系数完全相等”的假设，说明出现了结构性变化。相反，如果计算出的F值小于F分布表中的判定值，不放弃“前期的回归系数与后期的回归系数完全相等”的假设，说明没有发生结构性变化。,4、相关系数检验（r-Test）,由于一元线性回归方程研究的是变量x与变量y之间的线性相关 关系，所以我们可以用反映变量x与变量y之间的相关关系密切 程度的相关系
6、数来检验回归方程的显著性。 由于总体相关系数定义为,为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。,当r=-1时，表示x与y之间完全负相关；,当r=1时，表示x与y之间完全正相关；,当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。,5、四种检验的关系,前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、F检验和相关系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证明，这四种检验：,(2.4.8),(2.4.9),(2.4.10),(2.4.11),因此，对于一元线性回归方程，我们只
7、需作其中的一种检验 即可。但对于多元线性回归方程这四种检验有着不同的意义， 并不是等价的，需分别进行检验。,是等价的。,5、回归方程的标准记法,为了方便，我们往往将回归方程的参数估计和系数的显著性检 验统计量结果放在一起。例如，对于例2.2.1，我们可以采用以 下标准记法：,363.6891 + 2.028873x S（62.455288） （0.101558） t（ ）（ ）,有时S（回归系数的标准差，有时也记为 ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，*一般表示在显著性水平 1下显著，*一般表示在显著性水平5下显著，无*表示5下 不显著。,第2节 预测与控制,一、预测 （点预
8、测、区间预测） 二、控制,对于一元线性回归模型,给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解 释变量的预测值0 ，可以此作为其条件均值E(Y|X=X0) 或个别值Y0的一个近似估计,注意：严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计 值，而不是预测值。 原因:（1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响,一、预测,（一）点预测,于是，我们把点预测分为两种：一是平均值的点预测，二是 个别值的点预测。利用回归方程，对于x的一个固定值，推算 出y的平均值的一个估计值，就是平均值的点预测；如果对于 x的一个特定值，推算出y的一个个别值的估计值，则属于个别 值的点预测。,例2.5.1仍以例2.2.1资料
9、为例，若要估计广告费用为1000万元 时，所有12个汽车销售分公司的汽车,销售量的平均数为,就是平均值的点预测；若要估计广告费用为602万元的那个汽车 销售分公司的汽车销售量为,就属于个别值的点预测。,(二)、区间预测值,1、总体均值预测值的置信区间,由于,于是,可以证明,因此,故,其中,于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0)的置信区间为,2、总体个值预测值的预测区间,由 Y0=0+1X0+ 知:,于是,式中 :,从而在1-的置信度下， Y0的置信区间为,在上述收入-消费支出例中，得到的样本回归函数为,则在 X0=1000处， 0 = 103.172+0.7771000=673.84,
10、而,因此，总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05 或 （533.05, 814.62）,同样地，对于Y在X=1000的个体值，其95%的置信区间为： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05 或 (372.03, 975.65),总体回归函数的置信带（域）（confidence band） 个体的置信带（域）,对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信 区间）:,（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精 度越低； （2
11、）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处 最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越 远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。,二、控制,所谓控制实际上就是预测的反问题。,即若因变量y取值于一定范围内，例如 ， 已经给定，求自变量x应控制在什么范围内。这等价于求 与 ，使得当 时，因变量y以1- 的 概率取值于 。,对于个别值的区间预测,由,但应注意，要实现控制必须 ，即应有,同理，对于平均值的区间预测,由,第3节 案例：一元线性回归模型的应用,已知某地区1978年2003年的国内生产总值GDP与货运周转量的数据如下表所示：,试对其进行一元线性回归分析。若2005年国内生产总值GDP达
12、到80亿元，试对其货运周转量做出区间预测 。,一、相关分析,绘制散点图，以观察国内生产总值GDP与货运周转量之间的 关系形态。 用Excel软件制作散点图的步骤如下： 第一步：选择“插入”下拉菜单。 第二步：选择“图表”选项 第三步：选择XY散点图。,第四步：输入数据区域。 第五步：定义X轴为“国内生产总值GDP”、Y轴为“货运周转量”。 第六步：选择新工作表插入还是作为其中的对象插入(在这里 我们选择作为其中的对象插入)。按“完成”。图形如2.6.1所示。,由图2.6.1可以看出，国内生产总值GDP与货运周转量之间具 有线性相关关系。于是我们可以对国内生产总值x与货运周转 量y建立一元线性回
13、归方程,二、回归分析,用Excel软件进行回归计算的步骤如下： 第一步：选择“工具”下拉菜单。 第二步：选择“数据分析”选项。 第三步：在分析工具中，选择“回归”，然后按“确定”。 第四步：定义自变量、因变量、置信度、输出区域。 选择“确定”后得到如输出结果62.6.1所示。,输出结果包括三部分内容：,第一部分是“回归统计”。给出了相关系数(Multiple R)、可决系 数（R Square）、修正的可决系数（Adjusted R Square）、标 准误差和观测值的个数。,第二部分是“方差分析”。给出了自由度（df）、回归平方和 与残差平方和（SS）、回归平方和与残差平方和的均方（MS） 、F统计量和F检验的显著水平（SignificanceF）。,第三部分是参数估计的有关内容。给出了回归方程的截距 （Intercept）的估计值 （Coefficients）、斜率 （X Variable 1）的估计值（Coefficients）、截距和斜率标 准误差,t检验中的t统计量（t Stat）、P-值.（P-value）以及截距和斜率 标准误差、t检验中的t统计量、P-值。,由输出结果2.6.1知，； Significance F=1.395E-21； P-value=1.395E-215%； R=0.9893081； R2=0.9787304； = 1.8803252,
