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1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件、 FIR滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为：,式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。这里Hg()不同于|H(e
2、j)|，Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|为的正实函数。,H(ej)线性相位： ()是的线性函数，即： ()= -, 为常数 (7.1.3) 若()满足下式： ()=0 -, 0是起始相位 (7.1.4) 也称这种情况为线性相位。 以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,一般称：满足(7.1.3)式是第一类线性相位； 满足(7.1.4)式为第二类线性相位。,(7.1.6) 将（7.1.6）式中两式相除得到：,即 移项并用三角公式化简得到: （7.1.7） 函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。 因为sin(n)关于n=奇对称
3、，如果取=(N1)/2，则要求h(n)关于(N1)/2偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件:,（7.1.8）,表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览,2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件 相位函数()=/2，由式（7.1.1）和（7.1.2），可得到: （7.1.9） 函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足式（7.1.9）的一组解， 因为cos(n)关于n=偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件：,（7.1.10）,2 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。 引入两个参数
4、符号： ,情况1： h(n)=h(Nn1), N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:,所以 （7.1.11） 因为cos(n-)关于=0, , 2三点偶对称，所以由式（7.1.11）可以看出，Hg()关于=0, , 2三点偶对称。因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。,情况2： h(n)=h(Nn1), N为偶数。 仿照情况1的推导方法得到:,（7.1.12）,式中，。因为是偶数，所以当时,而且cos(n)关于过零点奇对称，关于=0和2偶对称。所以Hg()=0，Hg()关于=奇对称，关于=0和2偶对称。因此，情况2
5、不能实现高通和带阻滤波器。 情况3： h(n)=h(Nn1)，N为奇数。,将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()= /2代入式（7.1.1）和（7.1.2）， 并考虑 ，得到:,当=0，, 2时，sin(n)=0, 且sin(n)关于过零点奇对称,Hg()关于=0, , 2三点奇对称,情况3只能实现带通滤波器,情况4： h(n)=h(Nn1), N为偶数。 用情况3的推导过程可以得到: （7.1.13） N是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当=0, 2时，sin(n)=0；当=时，sin(n)=(1)nN/2, 为峰值点。而且sin(n)关于过零点=0和2两点奇对称，关于峰值点=
6、偶对称。因此Hg()关于=0和2两点奇对称，关于=偶对称。由此可见，情况4不能实现低通和带阻滤波器。,3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点 线性相位的系统函数满足：,(7.1.21),“+”和“-”分别对应第一类和第二类线性相位。,一般情况： 线性相位FIR零点分布的特点：互为倒数的共轭对,图7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的零点分布,当然，也有一些特殊情况，如图中z1、z2和z4情况。,7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.2.1 窗函数法设计原理 设计思想：从时域出发，设计h(n)，逼近hd(n) 。 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，
7、因此 ：,一旦Hd(ej)给定，就可得到hd(n) 。 一般情况下， Hd(ej)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，为得到一有限长滤波器h(n)，最直接的方法是截断 hd(n)，即用一个窗口函数RN(n)对hd(n)进行加窗处理： h(n)= hd(n) RN(n)。 并保证截取的一段关于n=（N1）/2偶对称。,相应的单位取样响应hd(n)为：,(7.2.1),它是一个无限长的非因果序列。波形如下图所示。,设理想低通滤波器的传输函数Hd(ej) 为：,(7.2.2),实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，长度为N，其系统函数为H(z)，,用一个有
8、限长的序列h(n)去代替hd(n)，肯定会引起误差,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替hd(n) 会引起误差，表现在频域就是吉布斯效应。该效应引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减不足，从而不能满足技术上的要求。 吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也称为截断效应。,图7.2.2 吉普斯效应,Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即 傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是Hd(ej)对应的单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(n)，n=1, 2, , N1，
9、以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效应。,因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法。显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。,（7.2.4）,根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（7.2.3）式的傅里叶变换：,（7.2.5）,第一过零点内为主瓣,旁瓣,将Hd(ej)写成Hd(ej)=Hdg()ej， 则按照（7.2.1）式，理想低通滤波器的幅度特性函数为,将Hd(ej)和WR(ej)代入（7.2.4）式，得
10、到：,将H(ej)写成H(ej)=Hg()ej ，则,（7.2.6）,加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hdg()与 矩形窗幅度特性WRg()的卷积。,图7.2.3 矩形窗加窗效应,当=c时，如(c)所示，当c 2/N时，积分近似为WRg()一半波形的积分，对Hg(0)归一化后的值近似为1/2,当=0时，Hg(0)等于图(a)与(b)两波形乘积的积分，相当于对WRg()在c之间一段波形的积分，当c2/N时，近似为之间波形的积分,当=c2/N时，如(d)所示，WR()主瓣完全在区间c, c之内，而最大的一个负旁瓣移到区间c, c之外，因此Hg(c2/N)有一个最大的正峰。,当=
11、c+2/N时，如(e)所示，WRg()主瓣完全移到积分区间外边，由于最大的一个负旁瓣完全在区间c, c内，因此Hg(c+2/N)形成最大的负峰。,Hg()最大的正峰与最大的负峰对应的频率相距4/N,对hd(n)加矩形窗处理后，Hg()与原理想低通Hdg()的差别有以下两点：,在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg()主瓣宽度4/N。 通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关， WRg()旁瓣幅度的大小直接影响Hg()波纹幅度的大小。,这两点就是对hd(n)截断后，在频域的反映，即吉
12、布斯效应。,如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg()近似为：,该函数的性质是： 随x (N )，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；波动的频率加快，当x 时，sinx/x趋近于 函数，因此，当N加大时， H()的波动幅度没有多大改善。 N加大带来的最大好处是过渡带变窄(过渡带:4/N)。 因此加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。,图7.2.4 矩形窗函数长度的影响,所以有如下结论： 调整窗口长度N可以有效地控制过渡带的宽度。 减少带内波动以及加大阻带
13、的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。 为了消除吉布斯效应，取得较好的频率特性，一般采用其它类型的窗口，这些窗口函数在靠近两端的h(n)逐步衰减到零，使窗口频谱的主瓣包含更多的能量。从而降低通带内的纹波并加大阻带的衰减。 下面是几种常用的窗函数,1. 矩形窗(Rectangle Window),2. 三角形窗(Bartlett Window),3. 汉宁(Hanning)窗-升余弦窗,4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,5. 布莱克曼(Blackman)窗,6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),7.2.2. 几种常用的窗函数,（7.2.7）,为了描述方便，定义
14、窗函数的几个参数: 旁瓣峰值n窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值（dB）； 过渡带宽度Bg用该窗函数设计的FIR数字滤波器（FIRDF）的过渡带宽度； 阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。,1 矩形窗（Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函数为,图7.2.4 矩形窗函数长度的影响,2 三角形窗（Bartlett Window）,（7.2.8）,其频谱函数为,其幅度函数为 （7.2.10）,图7.2.5 三角窗的四种波形,主瓣能量更集中，但过渡带宽了很多,3 汉宁（Hanning）窗升余弦窗,（7.2.11）,当
15、N1时， N1N,汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.6所示，参数为: n=31 dB; Bg=8/N; s=44 dB。,图7.2.6 汉宁窗的四种波形,4 哈明（Hamming）窗改进的升余弦窗 （7.2.12）其频谱函数WHm(ej)为,其幅度函数WHmg()为 当N时，其可近似表示为 ,图7.2.7 哈明窗的四种波形,这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同,（7.2.13）,5 布莱克曼（Blackman）窗 其频谱函数为,其幅度函数为,幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同
16、的WRg()函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的3倍,图7.2.8 布莱克曼窗的四种波形,旁瓣进一步减小，但过渡带变宽,6 凯塞贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window） 以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。 （7.2.15） 式中 ,I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一般I0()取1525项，便可以满足精度要求。 参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，可以调整值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。凯塞（Kaiser）给出的估算和滤波器阶数N的公式如下:,表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影,表7.2.2 6种窗函数的基本参数,7.2.3 用窗函数法设计FIR滤
