《数值分析-lec1011-非线性方程的迭代解法教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析-lec1011-非线性方程的迭代解法教学案例（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、朱立永,北京航空航天大学 数学与系统科学学院,数值分析,Email: numerical_ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:305:30 答疑地点：主216,第十讲非线性方程的迭代解法,第三章非线性方程与非线性方程组的迭代解法,这一部分的主要任务是解,其中f（x）是一个一元非线性函数。,求根问题包括下面三个问题： 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有， 有几个根？ 哪儿有根？确定有根区间 根的近似求解,常用的求非线性方程根的方法,二分法（对分法、搜索法） 不动点法 （简单迭代法、压缩映象法）及其加速算法 Newton方法及其变体,根，重根的定义：,根：如果存在常数
2、s，使得 f(s)=0则称s是f(x)=0的根（零点）； 重根：如果 ， 称s为m重根。特别地对 f(x) 是多项式，则有 其中 。,二分法（对分法）,理论依据：设函数 f(x)Ca,b, f(a)f(b)0，则 f(x)在区间a,b上有一实根s使 f(s)=0。 二分法工作原理：每次把半分根所在的区间ak, bk分成两个等长的子区间ak, 0.5(ak+ bk) 和 0.5(ak+ bk) ，bk，并剔除根所不在的区间，直至根所在的区间变得充分小！即|bk-ak|。,算法： 1.令a0=a, b0=b, 给定绝对误差限和最大迭代次数N;计算f(a)和f(b)的值.如果f(a)f(b)0,运算
3、停止，输出计算失败。如果|f(a)| 而且kN, 输出计算失败，停止计算。,简单迭代法及其收敛速度,迭代法的构想,从一个初值x0出发，计算,如果 xk收敛，即存在x*, 使得,则由,得,即 x*是 (x)的不动点，也就是 f(x) 的根。,问题： xk 收敛吗？怎样实现(x),简单迭代法的收敛速度,Steffensen加速收敛方法,Newton 迭代法,非线性问题的最简单解法是线性近似. 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼 近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想.,Newton 法的几何解释,Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它
4、每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时， Newton法无法进行。,Newton迭代法,有前面的直观我们知道，构造的(x)如果在s点导数为零的次数越高，迭代法收敛阶越高。那么我们来构造(x)使其在s点的导数为零。,f(x)为已知，来构造(x), 并保证s满足s=(s), 同时f(s)=0, 现令(x)=x+h(x)f(x) , h(x)为待定函数，并且满足h(x)0。,求方程m重根的Newton迭代法,Newton迭代法降为一阶！,改进办法一,为二阶收敛,改进办法二,此方法不管根的阶数，收敛精度至少二阶！,割线法,Newton迭代法需要计算f(x)的一阶导数，对
5、复杂的函数，特别是多元隐函数，求导数或偏导数是一个相对繁琐和复杂的，往往采用近似计算的办法！,在Newton迭代法中用,来近似f(x)在xk处的一阶导数,由此得到的算法叫割线法。,31,割线法的几何表示,x0,X,x*,x1 x2 x3,Y,f(x)0,P0,P2,P1,割线法的收敛性,引理：设f(s)=0，在 s 的某领域 s- , s+ 内 f(x) 连续，f(x)0，又设 xk-1，xks-, s+ 且 xk-1, xk, s 互异，记 ek=s-xk, 则有,其中 xk1 是由割线法产生，k, k 在 min(xk-1, xk, s) 与 max(xk-1, xk, s) 之间。,定理：设 f(s)=0,在 s 的某领域 I= s- , s+ 内 f(x) 连续，f(x)0，则存在0，当 x-1, x0I时，则由割线法产生的序列 xk 收敛于 s ，且收敛速度的阶至少为 1.618。,单点割线法,35,抛物线法,36,抛物线法计算公式,作业,课后习题1、2、4、5、7、9,
