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1、3.2 条件分布与随机变量的独立性,一、条件分布,设X是一随机变量,为在事件A发生的条件下，,满足,称条件概率,是一随机事件，,记,X的条件分布函数.,如,与独立性,例,掷一颗骰子，,X是出的点数,X是随机变量.,表示:“ ”,且,且,为在事件A发生的条件下，,X的条件分布函数.,且,时,设Y,且对于实数,则,同理,且,若,则,且,是另一随机变量,定义3.6,如果对任意实数,有,则称随机变量X与Y相互独立.,与,设随机向量( X，Y ),的联合分布函数,此时,且,时,时,同理，,为,定理3.1,随机变量X与Y,的充要条件是,事件,与,相互独立.,对任意实数集A与B,即,定理3.2,如果随机变量
2、X与Y,相互独立,则对于,任意连续函数,随机变量,与,也相互独立.,和,相互独立,X与Y独立,对任意实数集A与B,定义3.7,设,是n个随机变量,联合,分布函数为,边缘分布函数为,恒有,如果对任,则称,相互独立.,二、离散型随机变量,的条件分布,设( X，Y ),是二维离散型随机向量,概率分布为,若对某个,有,则,且,记,与独立性,称为,条件下,X的条件概率分布.,在,其,定义,此时，有,定义,设( X，Y ),是二维离散型随机向量,若对,有,则称,固定的,为,条件下,X的条件概率分布.,在,如,设( X，Y )的概率分布为,则在,条件下，,X的,条件概率分布为,定义,设( X，Y ),是二维
3、离散型随机向量,若对,有,则称,固定的,为,条件下,Y的条件概率分布.,且,在,此时，有,记,例,设X与Y的联合分布为,写出X=0时，,Y的条件分布.,解,例,设X与Y的联合分布为,写出X=1时，,Y的条件分布.,解,定理3.3,则X与Y相互独立,分布,设X与Y是,离散型随机变量，,其联合概率,分布为,边缘,分别为,的充要条件是,例,设X与Y的联合概率分布为,且X与Y独立，,求p，q,解,解出,由联合分布,可求出边缘分布;,但由边缘分布,一般不能确定联合分布.,如,但若已知X与Y,则可由边缘分布,确定,它们的联合分布.,相互独立,例,设随机变量X与Y,相互独立，,概率分布分别为,则以下结论正确
4、的是,以上都不正确.,解,下表列出二维随机向量,的联合分布律,及边缘分布律,的部分数值,将其余数值,填入空白处.,例,设随机变量 与 独立,三、连续型随机变量,的条件分布,与独立性,称为,条件下,X的条件密度函数.,称为,条件下,Y的条件密度函数.,定义,记,记,例,设X和Y的联合密度函数为,其它,求条件密度函数.,解,时,其它,例,设X和Y的联合密度函数为,求条件密度函数.,解,时,y取其它值,其它,当,时，,或,不存在.,当,其它,解,时，,时，,求条件密度函数.,其它,例,其它,解,求条件密度函数.,其它,时,或,解,例,其它,求条件密度函数.,其它,当,时，,或,不存在.,当,定理3.
5、4,设连续型随机向量(X，Y),的密度,边缘密度分别为,和,的充分必要条件是,则X与Y相互独立,函数为,设,1)求A的值;,D是由曲线,直线,及 轴,围成的图形,在第一象限内的部分,随机向量,有联合密度,其它,2)求X及Y的边缘密度；,3)X与Y是否独立？,例,1)求A的值;,解,设,D是由曲线,直线,及 轴,围成的图形,在第一象限内的部分,随机向量,有联合密度,其它,例,2)求边缘密度.,解,时,其它,其它,解,时,其它,2)求边缘密度.,其它,3)X与Y是否独立？,解,已求出(X,Y)的边缘密度为,其它,其它,其它,与 不独立.,其它,例 设,求:1),2)方程,解：1),与 独立,其它,的联合密度；,有实根的概率.,因为 与 独立,所以,且,其它,有实根,2)方程,且,其它,
