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1、人生的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。 第 1 页 共 3 页 伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 25.2矩形的判定 1掌握矩形的判定方法；(重点 ) 2矩形的判定及性质的综合应用(难 点) 一、情境导入 我们已经知道， 有一个角是直角的平行 四边形是矩形这是矩形的定义，我们可以 依此判定一个四边形是矩形除此之外，我 们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 矩形是一个中心对称图形，也是一个轴 对称图形，具有如下的性质： 1两条对角线相等且互相平分； 2四个内角都是直角 这些性质， 对我们寻找判定
2、矩形的方法 有什么启示？ 二、合作探究 探究点一： 有一角是直角的平行四边形 是矩形 已知：如图，ABC 中，ABAC， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BAC 的外角平 分线， DEAB 交 AE 于点 E，求证：四边 形 ADCE 是矩形 解析：首先利用等边对等角性质得出 BACB；再根据外角和外角平分线性质 得出 FAEACB，进而得到AECD， 即可推出四边形AEDB 是平行四边形， 再利 用平行四边形的性质推出四边形ADCE 是 平行四边形，即可推出四边形ADCE 是矩 形 证明： ABAC，ADBC， B ACB，BDDC.AE 是 BAC 的外角平 分线，FAE EAC，
3、B ACB FAE EAC， B ACB FAE EAC，AECD，又 DEAB，四 边形 AEDB 是平行四边形，AE 平行且相 等 BD， 又 BD DC， AE 平行且等于DC， 故四边形ADCE 是平行四边形， 又 ADC 90，平行四边形ADCE 是矩形 方法总结： 此题主要考查了平行四边形 的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平 行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形 ADCE 是平行四边形是解题的关键 探究点二： 对角线相等的平行四边形是 矩形 如图，平行四边形ABCD 中，对 角线 AC、BD 相交于点O，延长 OA 到 N， 使 ONOB，再延长 OC 至 M，使 CMAN
4、. 求证：四边形NDMB 为矩形 解析：首先由平行四边形ABCD 可得 OAOC、OBOD；若 ONOB，那么 ON OD；而 CMAN，即 ONOM，由此可 证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平 分，即可得证 证明： 四边形ABCD 为平行四边形， AOOC，ODOB， ANCM，ON OB ， ON OM OD OB，四边形 NDMB 为平行四边形，MNBD，平行四 边形 NDMB 为矩形 方法总结： 证明一个四边形是矩形，若 题设条件与这个四边形的对角线有关，通常 证这个四边形的对角线相等且互相平分 探究点三： 有三个角是直角的四边形是 矩形 人生的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不
5、幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。 第 2 页 共 3 页 伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 如图所示， 在 ABC 中， ABAC， AD BC，垂足为D， AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线， CEAN，垂足为E，求 证：四边形ADCE 为矩形 解析： 本题的垂直关系较多，所以利用 “ 有三个角是直角的四边形是矩形”来证 明比较简便 证明：在 ABC 中，ABAC， ADBC， BAD DAC ，即 DAC 1 2BAC.又 AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线， MAE CAE 1 2CAM. DAE DAC
6、CAE 1 2 (BAC CAM) 180 1 2 90.又 ADBC，CEAN， ADC CEA90.四边形ADCE 为矩形 方法总结： 题设中出现多个直角或垂直 时，常采用 “有三个角是直角的四边形是矩 形” 来判定矩形 探究点四： 矩形的性质和判定的综合应 用 【类型一】利用矩形的判定和性质证 明和计算 如图， O 是矩形ABCD 的对角线 的交点， E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、 OD 上的点，且AEBFCGDH . (1)求证：四边形EFGH 是矩形； (2)若 E、F、G、H 分别是OA、OB、 OC、OD 的中点，且DGAC，OF2cm， 求矩形 ABCD 的面积 解
7、析： (1)首先证明四边形EFGH是平 行四边形，然后再证明HF EG； (2)根据题干求出矩形的边长CD 和 BC， 然后根据矩形面积公式求解 (1)证明： 四边形ABCD 是矩形， OA OB OC OD ， AE BF CG DH ， AOAEOBBF COCGDO DH ，即OE OFOGOH，四边形 EFGH 是矩形； (2)解：G 是 OC 的中点， GOGC， DGAC， CDOD， F 是 BO 中点， OF2cm，BO 4cm，四边形ABCD 是 矩形， DOBO4cm，DC4cm，DB 8cm， CBDB 2DC24 3(cm)， 矩形 ABCD 的面积 443163(cm
8、 2) 方法总结： 要证明四边形是矩形，首先 可判定四边形是平行四边形，然后证明对角 线相等 【类型二】矩形判定与动点问题 如图所示，在梯形ABCD 中， AD BC，B90，AD 24cm，BC 26cm， 动点P 从点 A 出发沿AD 方向向点D 以 1cm/s 的速度运动， 动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点B 以 3cm/s 的速度运动 点 P、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点 到达端点时，另一点随之停止运动 (1)经过多长时间，四边形PQCD 是平 行四边形？ (2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩 形？ 解析： (1)四边形 PQCD 是平行四边形，
9、可根据 DP CQ，列出方程后求解即可； (2)四边形 PQBA 是矩形，可根据AP BQ，列出相应方程求解即可 解： (1)设经过 xs，四边形PQCD 为平 行四边形，即PDCQ，所以 24x3x， 解得 x6，即经过6 秒，四边形PQCD 是 平行四边形； 人生的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。 第 3 页 共 3 页 伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 (2)设经过ys，四边形PQBA 为矩形， 即 APBQ，所以 y263y，解得 y13 2 ， 即经过 6.5 秒，四边形PQBA
10、是矩形 方法总结： 证明一个四边形是矩形， 若题设条件与这个四边形的对角线有关，通 常证这个四边形的对角线相等；题设中出 现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是 直角的四边形是矩形”来判定矩形 三、板书设计 1矩形的判定 有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形 2矩形的性质和判定综合应用 在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形 判定的几种方法，更要注重学生在教学的过 程中是否真正掌握了探究问题的基本思路 和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理， 也要懂得提出问题探究问题教师在例题练 习的教学中，若能适当地多做一些变式练 习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就 能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的 有效性 .
