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1、1,第九节 连续函数的运算,一、四则运算的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结 思考题,与初等函数的连续性,2,一、连续函数的四则运算的连续性,【定理1】,例如,（上节已证）,由函数“连续”的定义和极限四则运算法则，立得:,【推广】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【结论】三角函数在其定义域内连续.,若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x) ，,f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点x0处也连续.,3,二、反函数与复合函数的连续性,【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略）,例如,【结论】反三
2、角函数在其定义域内皆连续.,1. 反函数的连续性,5,将上两步综合起来:,6,【意义】,【例1】,【解】,可知,极限符号 可以与函数符号 f 交换次序;,同理,（即教材例6）,利用lnu的连续性,7,【教材例3】,【解】,可视为由,复合而成，,则,8,又如,交换次序：,分子有理化,分离无穷小量,9,【例2】,【解】,同理可得,（即教材例7）,10,【定理4】,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,11,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,12,【定理5】 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),定义区间是指包含在定义域内的
3、区间.,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续【定理6】,13,【例3】,【例4】,【解】,【解】,14,【教材例8】,【解】,由定理3及极限运算法则得,【解】,ln(1+2x) 2x (x0),15,【一般地】,的函数称为幂指函数,若,则,16,四、小结,3.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,2.两个定理（3、4）;两点意义.,1.基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,【说明】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,17,【思考题】,18,【思考题解答】,是它的可去间断点,
