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1、第三章 离散傅里叶变换（DFT） 及其快速算法,2,连续时间非周期信号的傅里叶变换为,傅里叶变换,3,傅里叶级数,当x(t)为连续时间周期信号时，可展开为傅里叶级数,5,6,上述三种情况至少在一个变换域有积分(连续)，因而不适合进行数字计算。,时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）。,离散傅里叶变换,7,对序列的傅里叶变换在频域上加以离散化， 令 从而,8,9,四种形式归纳,10,傅里叶变换是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。 离散傅里叶变换（DFT）则建立离散时域与离散频域之间的关系。 DFT是分析有限长
2、序列的有用工具，在各种信号的处理中起着核心作用。 FFT的出现使DFT对信号处理的发展起了巨大的推动作用。 DFT的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，是使得频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行。,离散傅里叶（DFT）变换的重要性,11,从傅里叶变换到离散傅里叶变换，及其应用要解决两个问题： 离散与量化， 快速运算。,DFT是现代信号处理桥梁,12,3.1离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义 设x（n）是一个长度为M的有限长序列，x（n）的N点傅里叶变换： N称为DFT变换区间长度， 令 ，记作旋转因子 傅里叶变换与逆变换对为：,13,例3.1.1 分别
3、计算序列的8点、16点DFT,解:8点DFT 16点DFT,14,是 在频率区间 上的等间隔采样。,15,一.预备知识 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数为 。 是 的解，或称作取余数，或说作n对N取模值，或简称为取模值，n模N。,16,例如： (1) (2),17,3.1.2 DFT与DFS、ZT、FT之间的关系,1. DFT与DFS之间的关系 有限长序列 周期序列 主值区间序列,是 主值区间序列,18,19,20,周期序列 与有限长序列X(k)的关系,同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,21,周期序列
4、的DFS,有限长序列的DFT,是 的主值区间序列，成立条件NM,22,DFS,DFT,23,DFT与DFS之间的关系:,有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 的DFS系数的主值序列,24,DFS与FT之间的关系:,周期延拓序列的频谱特性由傅里叶级数的系数 确定，幅度相差一个常数因子 DFT: 是 的主值区间序列， 因此 能表示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征,25,2.DFT与FT、ZT之间的关系,有限长序列 DFT与ZT、FT、DFS,26,DFT与z变换,DFT与DTFT变换,序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样
5、； X(k)为x(n)的傅里叶变换 在区间 上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。,27,例：,解：,28,3.1.3 DFT的矩阵方程表示（1）,29,3.1.3 DFT的矩阵方程表示（2）,IDFT的矩阵表示,30,小结,DFT 引入的目的 DFT 的定义 DFT与DFS、ZT、FT之间的关系 DFT、IDFT的计算 DFT的矩阵表示,3.2 离散傅里叶变换（DFT） 的主要性质,32,1线性性质,设x1(n)，x2(n)为有限长序列，长度分别为 它们的离散付里叶变换分别为 若 则,33,和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。,34,2.DFT的隐含周
6、期性,由于,所以X(k)满足：,物理意义：X(k)为 在区间 上的N点等间隔采样。 以2为周期，X(k)以N为周期。,35,3. 循环移位性质,循环移位: 有限长序列x(n),序列长度为M，对序列进行周期延拓，周期NM x(n)的循环移位序列： 左移m个单位，取主值序列 循环移位序列的DFT与原序列x(n)的DFT有何关系？,36,37,圆周位移的含义 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列 一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆 上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时， 看到就
7、是周期序列 : 。,38,n=0,N=6,循环移位序列的DFT与原序列x(n)的DFT有何关系？,39,序列循环移位后的DFT,则 证明:,40,同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性：,41,4复共轭序列的DFT,设 为 的复共轭序列，长度为N 则 证明： 类似地：,42,5DFT的共轭对称性,DFT变换涉及到的x(n)和X(k)均为有限长序列，定义区间为 0到N-1，所以这里的对称性是指关于N/2点的对称性。 有限长共轭对称序列 当N为偶数时，用N/2-n替代n,43,共轭反对称序列,当N为偶数时，用N/2-n替代n 对于任何有限长序列x(n)，均可表示为 用N-n替
8、代n，取共轭 于是,44,DFT的共轭对称性,将序列分成实部与虚部之和 则：,45,将序列分成共轭对称和共轭反对称之和 则：,46,DFT的共轭对称性小结：,实部 共轭对称分量 J虚部 共轭反对称分量,47,实序列DFT的特点,设x(n)为长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则 写成极坐标形式 则 关于k=N/2点偶对称 关于k=N/2点奇对称,48,实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的 X（k），就可得到另一半的 X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。 计算一个复序列的N点DFT，可求得两个不同实序列的DFT 例 是实序列，长度均
9、为N DFT,49,实序列2N点的DFT，拆分重组为N点复序列的DFT,例 是实序列，长度为2N 拆分 重组 N点DFT,50,6. 循环卷积定理,两个有限长序列的循环卷积 序列 的长度分别为N和M 与 的L点循环卷积定义为,L点循环卷积 循环卷积 线性卷积,51,52,0,m,0,m,0,m,0,m,53,54,最后结果：,55,利用矩阵计算循环卷积,形成 的循环倒相序列,形成的序列为,56,当n、m从0变换到L-1时，得到 的矩阵,第一行是 的循环倒相序列 前一行向右循环移位形成其它行 与诸对角线平行的线上，各元的值相等,57,循环卷积矩阵计算公式,58,例3.2.1计算序列 的4点和8点
10、循环卷积,解 4点循环卷积,59,8点循环卷积,循环卷积结果等于线性卷积 循环卷积计算复杂,60,DFT的时域循环卷积定理（1）,序列 的长度分别为N和M 与 的L点循环卷积定义为 且 则,61,DFT的时域循环卷积定理（2）,证明：,62,DFT的时域循环卷积定理（3）,以L为周期,DFT： 时域循环卷积 频域乘积,63,序列循环卷积运算框图,64,序列 的长度分别为N和M 则 证明：,DFT的频域循环卷积定理,65,7. 离散巴塞伐尔定理（1）,序列 的长度为N DFT 则,66,7. 离散巴塞伐尔定理（2）,证明,序列在时域计算的能量等于其在频域计算的能量,67,3.3 频域采样,时域采
11、样定理 采样频率大于等于奈奎斯特采样频率，可以由离散信号恢复原来的连续信号 频域采样定理,频域抽样呢？,抽样条件？,内插公式？,68,任意序列x(n)，其Z变换为 若Z变换X(z)的收敛域包含单位圆，即序列绝对可和，在单位圆上对X(z)等间隔采样得到 是以N为周期的周期序列,69,由 恢复出x(n)的条件 x(n)序列长度有限； N大于x(n)序列长度,70,原若序列x(n)长度为M，其傅里叶变换为 对 在频率区间 等间隔采样得到 只有当频域采样点数: 有 即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。,截取 的主值序列 一对DFT,71,72,序列x(n)长度为M，其Z变换为
12、其中 ，满足频域采样定理 在Z平面的单位圆上，对X(z)进行采样，采样点数为N,3.3 频域内插公式,用频域采样 表示 的内插公式?,73,问题：如何由 恢复,74,Z域内插函数,75,76,用 表示 的内插公式和内插函数,77,保证了各采样点上的值与原序列的频谱相同； 采样点之间，为采样值与对应点的内插公式相乘，并叠加而成。,78,小结,频域采样定理 条件，以保证恢复原序列 x(n) 频域的内插公式,3.4 DFT的快速算法 快速傅里叶变换（FFT）,80,3.4.1问题的提出,4点序列2，3，3，2 DFT的计算复杂度,复数加法,N(N-1),复数乘法,N 2,如何提高DFT的运算效率?,
13、81,1. 将长序列DFT分解为短序列的DFT,2. 利用旋转因子 的周期性、对称性。,解决问题的思路,82,旋转因子 的性质,1)周期性,2) 对称性,83,将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子的特性，由子序列的DFT来实现整个序列的DFT。,基2时间抽取(Decimation in time)DIT-FFT算法,基2频率抽取(Decimation in frequency)DIF-FFT算法,3.4.2 基2FFT算法,84,序列 的 N 点DFT为 奇偶分解,DIT-FFT算法,85,分解为2个DFT 均以N/2为周期 利用 及DFT的隐含周期性，得,86,运算量 复数乘 复数加
14、,87,蝶形图及运算功能,C,A+CB,A,B,A-CB,88,4点基2时间抽取FFT算法流图,X10,X11,X20,X21,X 0,X 1,X 2,X 3,-1,-1,89,8点DFT一次时域抽取分解运算流图,N/2点 DFT,G(0),G(1),G(2),G(3),X(0),X(1),X(2),X(3),x(0),x(2),x(4),x(6),N/2点 DFT,H(0),H(1),H(2),H(3),X(4),X(5),X(6),X(7),x(1),x(3),x(5),x(7),WN1,WN2,WN3,-1,-1,-1,两个4点DFT组成8点DFT,WN0,90,N/4点,N/4点,N/4点,N/4点,由四个2点DFT组成8点DFT,91,基2时间抽取FFT算法流图,第一级,第二级,第三级,92,2. DIT-FFT的运算效率,N=2M的序列，通过M级分解最后成为1点的DFT运算。构成M级运算过程。 每一级运算都由N/2个蝶形运算构成。每一级运算含N/2次复乘和N次复加， 总运算量： 复乘 复加,93,运算效率,运算效率为204.8 运算效率为372.37,3.5 DFT（FFT）应用举例,95,3.5.1用DFT（FFT）两个有限长序列的线性卷积,求离散系统响应； 直接计算时间较长； 间接计算 DFT可计算循环卷积 FFT可加快运算速度 DF
