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1、1,第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,(surface),二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,(surface of revolution),(cylindrical surface ),(quadratic surface),第七章 空间解析几何与向量代数,2,水桶的表面、,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.,曲面方程的定义,曲面的实例,(1),曲面S上任一点的坐标都满足方程;,(2),不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;,如果曲面S,有下述关系:,那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.,一、曲面方程的概念,台灯的罩子面等.,与三元方程,3,曲面的参数方程为,
2、凡三元方程都表示空间一曲面,?,是一个三元方程,但不表示任何曲面.,错,如,5,解,所求方程,是曲面上任一点,例,的全体所组成的曲面方程.,6,研究空间曲面有,(1)已知曲面,(2)已知方程,两个基本问题,(讨论旋转曲面),(讨论柱面, 二次曲面),求方程;,研究图形.,7,二、旋转曲面,定义,绕其平面上的一条直线,这条定直线叫旋转曲面的轴.,此曲线称,称为旋转曲面.,旋转一周所成的曲面,母线.,为方便,平面取作坐标面,旋转轴取,作坐标轴.,(surface of revolution),常把曲线所在,以一条平面曲线,母线,轴,8,旋转过程中的特征：,如图,将,得方程,代入,9,旋转曲面方程.
3、,旋转一周的,即为,同理,旋转曲面方程为,旋转一周的,绕z轴,绕y轴,10,曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 :,而用另两个变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.,11,解,圆锥面方程,所得旋转曲面称为圆锥面.,两直线的交点称为,圆锥面的顶点,例,两直线的夹角,圆锥面的半顶角.,称为,试建立顶点在坐标原点O,旋,半顶角为 的,圆锥面的方程.,转轴为z轴,面上直线方程为,直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,12,圆锥面方程,即 圆锥面方程,(用得较多),?,绕y轴旋转所得曲面方程
4、及图形.,即,面上直线方程为,13,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.,旋转双曲面,例,双曲线,(1),分别绕x轴和z轴;,绕x轴旋转,绕z轴旋转,14,旋转椭球面,旋转抛物面,(2),绕y轴和z轴;,(3),绕z轴.,15,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线C,这条定曲线C 称为柱面的,动直线L称为柱面的,准线,母线.,(cylindrical surface ),所形成的曲面称为,移动的直线L,柱面.,准线,母线,16,因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例 讨论方程 的图形.,在xOy面上,解,现在空间直角坐标系中讨论问题.,母线平行于z轴的柱面.,表一个
5、圆C.,过点,作平行z轴的直线L,设点,在圆C上,对任意z,点,的坐标也满足方程,沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点,的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程.,此曲面称为圆柱面.,17,平面,表示母线平行于z,表示母线平行于z轴,抛物柱面,柱面举例,其准线是xOy面,上的抛物线,轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上,的直线,18,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,在空间,线为xOy面上的曲线C.,其准,母线平行于x轴,母线平行于z轴,母线平行于y轴,19,四、二次曲面,1. 二次曲面的定义,相应
6、地平面被称为,三元二次方程所表示的曲面称为,球面、,二次曲面.,如:,双曲柱面等),某些柱面(圆柱面、抛物柱面、,一次曲面.,都是二次曲面.,20,研究的方法是采用截痕法.,以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.,从而了解曲面,即用坐标面和,平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线,(即截痕)的形状,然后加以综合,的全貌.,21,2. 椭球面,(ellipsoid),由方程可知,即,这说明椭球面包含在由平面,围成的长方体内.,22,先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：,去截这个曲面,所得截痕的方程是,这些截痕都是椭圆.,再用平行于xOy面的平面,这些截痕也都是椭圆.,23,椭圆截面的大小,随平面
7、位置的变化而变化.,与平面,椭圆.,同理,的截痕也是,24,椭圆抛物面的图形如下：,3. 抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,25,（ 与 同号）,双曲抛物面,设,图形如下：,有两个异号的平方项,另一变量,马鞍面,特点是:,是一次项,无常数项.,(马鞍面),26,4. 双曲面,单叶双曲面,特点是:,平方项有一个取负号,另两个取正号.,炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状.,27,类似地,亦表示,?,想一想,单叶双曲面.,方程,以上两方程的图形是与此图形,一样吗?,28,双叶双曲面,或,特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.,它分成上、下两个曲面.,29,类似地,或,亦表示,以上两方程的图形是与此图形,?,方程,双叶双曲面.,一样吗,30,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,31,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,
