《2014年第一轮复习 第五章 数列 第六节 数列的综合问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年第一轮复习 第五章 数列 第六节 数列的综合问题课件（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节数列的综合问题,第五章数 列,考 纲 要 求,能利用等差、等比数列的有关知识解决数列的综合问题,课 前 自 修,知识梳理,一、等差、等比数列的一些重要结论 1等差数列an中，若mnpq，则amanapaq. 2等比数列an中，若mnpq，则amanapaq. 3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等差数列 4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等比数列(m为偶数且公比为1的情况除外),5两个等差数列an与bn的和、差构成的数列anbn，anbn仍为等差数列 6两个等比数列an与
2、bn的积、商、倒数构成的数列anbn， ， 仍为等比数列 7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 9若an为等差数列，则 (c0)是等比数列 10若bn(bn0)是等比数列，则logcbn(c0且c1)是等差数列,二、几个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：ad，a，ad；四个数成等差的设法：a3d，ad，ad，a3d. 三个数成等比的设法： ，a，aq；四个数成等比的错误设法： ， ，aq，aq3(因为其公比为q20，对于公比为负的情况不能包括) 三、用函数的观点理解等差数列、等比数列 1对于等差数列ana1(n1
3、)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点；当d0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列；当d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当d0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列,若等差数列的前n项和为Sn，则Snpn2qn(p，qR)当p0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题 2对于等比数列ana1qn1，可用指数函数的性质来理解 当a10，q1或a10,0q1时，等比数列an是单调递增数列； 当a10,0q1或a10，q1时，等比数列an是单调递减数列； 当q1时，是一个常数列； 当q0时，
4、无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列,基础自测,1(2012山西四校联考)已知等比数列an的公比q0且q1，又a60，则() Aa5a7a4a8Ba5a7a4a8 Ca5a7a4a8 D|a5a7|a4a8|,2(2012黄山市模拟)设数列an的前n项和为Sn(nN*)，关于数列an有下列三个命题： 若数列an既是等差数列又是等比数列，则anan1； 若Snan2bn(a，bR)，则数列an是等差数列； 若Sn1(1)n，则数列an是等比数列 这些命题中，真命题的个数是() A0B1C2D3,解析：不妨设数列an的前三项为ad，a，ad，则其又成等比数列，故a2a2d2，d0，即anan1，
5、为真命题由Sn的公式，可求出an(2n1)ab，故an是等差数列，为真命题由Sn可求出an2(1)n1，故数列an是等比数列，为真命题故选D. 答案：D,3(2012湖南师大附中测试)在数列 和 中，bn是an与an1的等差中项，a12且对任意nN*都有3an1an0，则数列 的通项公式为 _. 4(2012日照一中月考改编)已知实数a，b，c，d成等比数列，对于函数yln xx，当xb时取到极大值c，则ad 等于_,4. 解析：对函数求导得y 1 x(0,)，当0 x1时，y0，当x1时，y0，所以当x1时，函数有极大值为yln 111，所以b1，c1.因为实数a，b，c，d成等比数列，所以
6、adbc1. 答案：3bn43n 4. 1,考 点 探 究,考点一,等差、等比数列知识的综合,【例1】公差不为零的等差数列的第2,3,6项成等比数列，求公比q.,变式探究,解析：设等差数列的公差为d，则1(9)4d，得d2，而a1a32d4， (9)(1)9，且b20，所以b23，所以 .故选D. 答案：D,考点二,数列与函数知识的综合,变式探究,2如图，过曲线C：yex上一点P0(0,1)作曲线C的切线l0交x轴于点Q1(x1,0)，又过Q1作 x轴的垂线交曲线C于点P1(x1，y1)，然后再过P1(x1，y1)作曲线C的切线l1交x轴于点Q2(x2,0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点P
7、2(x2，y2)，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn1(xn1,0)，再过点Qn1作x轴的垂线交曲线C于点Pn1(xn1，yn1)(nN*),(1)求x1，x2及数列xn的通项公式； (2)设曲线C与切线ln及直线Pn1Qn1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式； (3)在满足(2)的条件下，若数列 Sn 的前n项和为Tn，求证： (nN*),(法一)数学归纳法 当n1时，显然(e1)20e22e1e2(e1)e成立； 假设nk(k1，nN*)时，ek1(e1)ke成立，则当nk1时， ek2eek1e(e1)ke， 而e(e1)ke(e1)(k1)e(e1)2(k1)0. e(
8、e1)ke(e1)(k1)e. ek2(e1)(k1)e. 这说明nk1时，不等式也成立,考点三,数列与指数、对数及三角函数的综合,【例3】(2012安徽六校教育研究会联考)数列an满足a11，a21，an2 4cos2 ，则a9，a10的大小关系为() Aa9a10 Ba9a10 Ca9a10 D大小关系不确定,解析：n为奇数时，an22an，n为偶数时，an2an4.又a1a21，该数列的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，a912416，该数列的偶数项构成首项为1，公差为4的等差数列，a101(51)417.a9a10.故选C. 答案：C,变式探究,3(2012珠海一中模拟)设正项等
9、比数列为an，若等差数列lg an的公差dlg 3，且lg an的前三项和为6lg 3，则an的通项为() Aannlg 3 Ban3n Can3n Dan3n1,解析：由lg a1lg a2lg a33lg a2 6lg 3 ，得a29，又lg a2lg a1lg 3，所以 a1 a23，所以公比为q3，通项公式为an3n.故选B. 答案：B,考点四,数列与不等式的综合,(1)求数列an和bn的通项公式； (2)设数列anbn的前n项和为Tn，求证：Tn2.,变式探究,考点五,数列与算法的综合,【例5】(2011深圳市二模)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a1，a2，an，
10、nN*，n2 011 (注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”) (1)若输入 ，写出输出结果；,变式探究,5(2012常州市模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，xn，x2 012；y1，y2，yn，y2 012. (1)求数列xn的通项公式xn； (2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式yn，并证明你的结论； (3)求Znx1y1x2y2xnyn(xN*，n2 012),解析：(1)由框图知，数列xn中，x11，xn1xn2， xn12(n1)2n1(nN*，n2 012) (2)由框图知，数列yn中，yn13yn2， y1
11、2，y28，y326，y480. 由yn13yn2，得 yn113(yn1)， 3，y113. 数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列 yn133n13n. yn3n1(nN*，n2 012),(3)Znx1y1x2y2xnyn1(31)3(321)(2n1)(3n1)13332(2n1)3n13(2n1) 记Sn13332(2n1)3n， 则3Sn132333(2n1)3n1， ，得2Sn323223323n(2n1)3n1 2(3323n)3(2n1)3n1 2 3(2n1)3n13n16(2n1)3n12(1n)3n16， Sn(n1)3n13. 又13(2n1)n2， Zn(n1)
12、3n13n2(nN*，n2 012),考点六,数列的实际应用,【例6】(2011湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式； (2)设An ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新,(2)证明：设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式，得 当1n6时，Sn120n5n(n1)， An1205(n1)1255n； 当n7时，由于S6570，故 SnS6(a
13、7a8an),变式探究,6(2012武汉市武昌区调研)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天 (1)工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式 (2)如果n10，你会选择哪种方式领取报酬？,解析：(1)三种付酬方式每天金额依次为数列an，bn，cn，它们的前n项和依次分别为An，Bn，Cn.依题意， 第一种付酬方式每天金额组成数列an为常数数列，An38
14、n. 第二种付酬方式每天金额组成数列bn为首项为4，公差为4的等差数列， 则Bn4n 42n22n. 第三种付酬方式每天金额组成数列cn为首项是0.4，公比为2的等比数列， 则Cn 0.4(2n1),(2)由(1)知，当n10时，A1038n3810380，B102n22n2102210220， C100.4(2n1)0.4(2101)409.2. B10A10C10. 答：应该选择第三种付酬方案,考点七,数列创新问题,【例7】(2011济宁市模拟)已知数列an，bn，cn的通项公式满足bnan1an，cnbn1bn(nN*)，若数列bn是一个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若数列cn
15、是一个非零常数列，则称数列an是二阶等差数列 (1)试写出满足条件a11，b11，cn1的二阶等差数列an的前五项； (2)求满足条件(1)的二阶等差数列an的通项公式an； (3)若数列an首项a12，且满足cnbn13an2n1 (nN*)，求数列an的通项公式,解析：(1)因为bnan1an，cnbn1bn(nN*)，由a11，b11，cn1，得a2b1a12，b2b1c12，a3b2a24，b3b2c23，a4a3b37，b4b3c34，a5a4b411.二阶等差数列an的前五项为a1=1, a2=2, a3=4, a4=7, a5=11. (2)依题意 bn1bncn1，n1,2,3
16、， 所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b111111n. 又an1anbnn (n1,2,3，)， 所以an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(n2)211 1 .,(3)由已知cnbn13an2n1，可得 bn1bnbn13an2n1，即bn3an2n1， an14an2n1， (法一)整理得an12n14(an2n)，因而数列an2n是首项为a124，公比为4的等比数列， an2n44n14n，即an4n2n. (法二)在等式an14an2n1两边同时除以2n1， 得 2 1， 令kn ，则kn12kn1，即kn112(kn1) 故数列kn1是首项为2，公比为2的等比数列， 所以kn122n12n，即kn2n1， an2nkn2n(2n1)4n2n.,变式探究,7(2
