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1、控制科学与工程 研究生专业基础课程-2,第四组成员：熊大华 徐方冰 吕慧超 周冰 李爽,第二章 线性系统的运动分析,主要内容：,对于不同系统，其状态空间表达式的一般形式为,对于线性定常系统，状态空间表达式中各元素均是常数，与时间无关，状态空间表达式为,(1-1),(1-2),式中A、B、C、D为常系数矩阵,1 自由运动,1-1 线性定常系统自由运动的定义,运动可分为自由运动和强迫运动，自由运动的定义如下,定义1-1 线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程,(1-3),若状态向量 的初始值为 ，齐次方程的解可表示为,(1-4),1 自由运动,发现
2、上式要求两边相等，而等号左边存在导数不难想到令解为：,仿照标量,指数函数 展开成幂级数形式,(1-6),将式（1-5）括号内矩阵的无穷项级数称为矩阵指数函数， 即,(1-5),1-2 自由运动解的组成,1 自由运动,则齐次方程的解可表示为,(1-7),若初始时刻 ，对应的初始状态为 ，由线性系统非时变性及齐次性则齐次方程的解可表示为,(1-9),将矩阵指数函数称为系统的状态转移矩阵，记为 ，即,(1-8),(1-10),1 自由运动,表示x(0)到x(t)的转移矩阵,表示x(t0)到x(t)的转移矩阵,齐次方程的解，可表示为,(1-12),(1-11),或,上式表明齐次状态方程的解，在初始状态
3、确定情况下，由状态转移矩阵唯一确定，即状态转移矩阵 包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。,1 自由运动,1-3 状态转移矩阵的性质,1）不发生时间推移下的不变性,2）可逆性,3）分解性,4）传递性（组合性）,1 自由运动,6）倍时性,7）,5）微分性和交换性,对于 矩阵A和B，如果满足AB=BA,则,1 自由运动,返回,2 状态转移矩阵的求解,2-1状态转移矩阵的求解方法,状态转移矩阵可以通过以下五种方法计算得到,1）直接级数展开法,根据矩阵指数的定义直接计算,例2-1 已知 ，求 。,(2-1),2 状态转移矩阵的求解,解：根据定义有,2 状态转移矩阵的求解,该方法具有步
4、骤简便、易于编程，适用于计算机求解。缺点是 计算结果是一个无穷级数，不易获得解析式，不适合手工计算。,2）拉普拉斯变换法,对线性定常齐次状态方程式（1-3）两边取拉普拉斯变换，得,整理有,取拉普拉斯反变换，可得齐次状态方程的解为,(2-2),(2-3),2 状态转移矩阵的求解,比较式(2-4)与式(1-6)，且根据定常微分方程组解的唯一性，有,(2-4),(2-5),例 2-2 求如下线性定常系统 的状态转移矩 阵 和 解：,2 状态转移矩阵的求解,2 状态转移矩阵的求解,3）化矩阵A为对角标准型法,若矩阵M为对角矩阵，且A的特征根没有重根的情况下，即,(2-6),2 状态转移矩阵的求解,则,
5、(2-7),2 状态转移矩阵的求解,若A能通过非奇异变换找到变换矩阵Q，得到对角阵，即,(2-8),2 状态转移矩阵的求解,则状态转移矩阵 为,(2-9),2 状态转移矩阵的求解,若A为模态矩阵，即,(2-10),则,2 状态转移矩阵的求解,例2-3 如下矩阵 用化为对角阵法计算,解：A的特征值为0和-2，求其变换矩阵,2 状态转移矩阵的求解,4）化矩阵A为约当标准型,若A为一个 的约当块，其重复的特征值为,(2-11),2 状态转移矩阵的求解,则,(2-12),2 状态转移矩阵的求解,若矩阵A为一约当矩阵，即,其中 为约当块,(2-13),2 状态转移矩阵的求解,则,(2-14),其中,是由
6、（2-12）所表示的矩阵。,2 状态转移矩阵的求解,当A的N个特征值都相同时，经线性变换可化为约当形矩阵J,(2-15),2 状态转移矩阵的求解,则,(2-16),2 状态转移矩阵的求解,例2-4 线性定常系统的齐次状态方程为,求系统的状态转移矩阵,解：根据已知条件求出特征值为三重的,2 状态转移矩阵的求解,5）应用凯莱-哈密尔顿定理,当A的特征值互异时所谓凯莱-哈密尔顿定理是指方阵A满足其自身的特征方程，即,故,同理所有高于（n-1）次的幂,都可以用,的线性组合来表示。因而：,2 状态转移矩阵的求解,当A的特征值互异时，,(2-17),中的待定系数 可以由以下公式得到。,2 状态转移矩阵的求
7、解,当A有重特征值时，设矩阵A有m重特征值 ，其余特征值互异。满足,将上式依次对 求导m-1次，得,(2-18),(2-19),2 状态转移矩阵的求解,再将其余 个单特征根考虑在内，即,解上述方程组，得出系数,(2-20),2 状态转移矩阵的求解,例2-5 考虑如下矩阵 ，用有限项法计算,解：A的特征值为0和-2，由（2-26）式可得下方程组,将两特征值代入上式得,返回,3 线性定常系统的受控运动,3-1 线性定常系统受控运动的定义,定义3-1 线性定常系统在控制输入信号作用下的运动，称为受控运动。其状态方程为,定理3-1 若非齐次状态方程,的解存在，,则有,(3-1),(3-2),3 线性定
8、常系统的受控运动,证明：由状态方程 得 ， 上式左乘 得,对上式进行 的积分，得,上式化简为,3 线性定常系统的受控运动,因此上式两边再左乘 ，且有 ，则,同样,从上式可以看出，可通过选择 使 的轨线满足要求,3 线性定常系统的受控运动,3-2 特定输入下的状态响应,1.脉冲响应,即当u(t)=K(t),x(0)=x0时,式中，K与u(t)同维的常数向量,(3-3),(3-4),2.阶跃响应,即当u(t)=K1(t),x(0)=x0时,3 线性定常系统的受控运动,3.斜坡响应,式(3-3)，式(3-4)和式(3-5)只有在矩阵A为非奇异，即A-1存在的条件下才能应用,(3-5),即当u(t)=
9、Kt1(t),x(0)=x0时,3 线性定常系统的受控运动,例3-1 系统状态方程为,其中 为单位阶跃函数，求方程的解。,解,3 线性定常系统的受控运动,第一项为转移项,3 线性定常系统的受控运动,第二项为受控项,返回,周期性采样；采样是等间隔进行；采样周期T远远大于采样脉冲 宽度； 满足香农采样定理； 采用零阶保持器，即,把连续时间系统化为离散时间系统需满足三个基本假定：,（4-1）,满足基本假定，则其离散化方程为,时变系统状态方程,4-1 时变系统状态方程的离散化,（4-3）,（4-2）,考察从,时变系统状态方程的解为：,4-1 时变系统状态方程的离散化,（4-5）,（4-4）,到,此时
10、这段时间的响应：,比较（4-3）和（4-5）知两者的系数矩阵关系为：,（4-6）,近似离散化 在采样周期 T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10 左右时，离散化的状态方程可近似表示为：,（4-7）,（4-8）,（4-9）,满足基本假定，则其离散化方程为,6 连续时间状态空间表达式的离散化,4-2 定常系统状态方程的离散化,线性定常系统,（4-11）,（4-10）,式中，G、H、C、D为常矩阵，且,例4-1 定常系统,求离散系统的状态空间描述。,（4-12）,解：先求,所以,再求,故离散化状态方程为,返回,离散系统通常采用输入和输出采样值的高阶差分方程来描述，形式如下：,式中，k系统运
11、动过程中的第K个采样时间 脉冲传递函数描述：,（5-1）,（5-2）,效仿连续系统，可以写出离散时间线性系统的状态空间描述为如下形式：,（5-3）,式中，x(k)离散状态矢量，设为n维 u(k)离散输入变量 y(k)离散输出变量 G系统矩阵，nn维 h输入矩阵，n1维 c输出矩阵，1n维 d直接传递函数，标量,选择状态变量,（5-4）,（5-5）,5-1 将标量差分方程化为状态空间描述,1）差分方程的输入函数中不包含差分项形式：,化为一阶差分方程组,（5-6）,（5-7）,相应的状态空间表达式,（5-8）,（5-9）,或,2）差分方程的输入函数包含差分项的情况,差分方程:,一般表示为：,（5-
12、10）,（5-11）,（5-12）,状态变量的选择： 使导出的一阶差分方程等式右边不出现输入函数的差分项，即,（5-13）,其中待定系数 h0,h1, ,hn-1及hn的计算关系式：,（5-14）,一阶差分方程组：,（5-15）,（5-16）,状态空间描述：,（5-17）,输出方程：,（5-18）,1）脉冲函数的极点为两两相异,令W(z)的极点为 z1,z2，zn 用部分分式法：,脉冲传递函数为：,（5-19）,（5-20）,（5-21）,5-2 将脉冲函数化为状态空间描述,选状态变量： 相应的状态空间描述：,（5-22）,（5-23）,2）脉冲的传递函数有重极点：,令z1为W(z)的重极点，
13、用部分分式法：,（5-24）,（5-25）,相应的状态空间描述：,（5-26）,（5-27）,令,返回,线性定常离散系统的状态方程为：,该差分方程的解为：,或,（6-1）,（6-2）,（6-3）,6-1递推法,例6-1 已知定常离散时间系统的状态方程为：,给定初始状态为：,以及 k=0，1，2时，u（k）=1。试用递推法求解X（k）。,得到：,解：,因此,显然递推法求得的是一个序列解，而不是一个封闭解。,对于线性定常离散系统的状态方程，也可以用 Z 变换法来求解。,或,设定常离散系统的状态方程是：,对上式两端进行 Z 变换，有：,6-2 z变换法,（6-4）,（6-5）,（6-6）,所以：,对
14、上式两端取 Z 的反变换，得：,对式（6-3）和式（6-8）比较，有：,（6-7）,（6-8）,（6-9）,（6-10）,如果要获得采样瞬时之间的状态和输出，只需在此采样周期内，即 在kTt (k+1)T内，利用连续状态方程解的表达式：,为了突出地表示f的有效期在kTt (k+1)T，可以令t=(k+)T (这里01)，于是上式变成：,（6-11）,（6-12）,式中,例6-2 用Z变换法求解例2-7的状态方程的状态转移矩阵及解。 状态方程为：,解: 由式,1）计算(ZI-G)-1,所以,考虑到,2）计算X(k),因为 u(k)=1 所以,，则,根据式,得,显然，Z变换法求得的是封闭形式的解析解，将k=0,1,2,3, 代入X（k），所得结果与前例一样。,连续系统,离散系统,状态空间 描述,系数矩阵,A,输入矩阵,B,状态转移 矩阵,运动分析,线性控制系统分析,线性控制系统分析,自由运动,线性定常系统的受控运动,离散系统的状态空间描述,离散时间系统状态方程的解,连续时间状态空间表达式的离散化,状态转移矩阵的求解,本章要点,级数展开 拉氏反变换 对角型 约当型 凯莱哈密顿,线性控制系统分析,
