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1、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一),质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二),第四章 部分习题分析与解答,4 10如图(a)所示，圆盘的质量为m，半径为R求：(1) 以O为中心，将半径为R2 的部分挖去，剩余部分对OO 轴的转动惯量；(2) 剩余部分对OO轴(即通过圆盘边缘且平行于盘中心轴)的转动惯量,（1）解1转动惯量的定义，剩余部分的转动惯量为,解2整个圆盘对OO 轴转动惯量为,挖去的小圆盘对OO 轴转动惯量,剩余部分对OO 轴的转动惯量为,(2) 由平行轴定理，剩余部分对OO轴的转动惯量为,4-13 如图所示，质量m1=16 kg的实心圆柱体A，其半径为r =15cm，可以
2、绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量为m2=8.0kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1.0s后的距离；（2）绳的张力,解(1) 对实心圆柱体而言，由转动定律得,对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有,（1）,（2）,且F F .又由角量与线量之间的关系，得,解上述方程组，可得物体下落的加速度,在t 1.0 s 时，B 下落的距离为,(2) 由式(2)可得绳中的张力为,（3）,分析：对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得。,解 取分别对两物体及组合轮作受力分析如下图,4-14 质量为m1和m2的两物体A、
3、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和强绳的张力。,根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有,由角加速度和线加速度之间的关系，有,解上述方程组，可得,分析：圆盘各部分的摩擦力的力臂不同，为此，可将圆盘分割成许多同心圆环，对环的摩擦力矩积分即可得总力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角动量定理可求得圆盘停止前所经历的时间。,解 （1）圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩为,4-17 一半径为R，质量为m的匀质圆盘，以角速度绕其中心轴转动，现将它平放在一水
4、平板上，盘与板表面的摩擦因数为。（1）求圆盘所受的摩擦力矩。（2）问经过多少时间后，圆盘转动才能停止？,由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量J=mR2/2，由角动量定理可得圆盘停止的时间为,对上式沿径向积分得圆盘所受的总摩擦力矩大小,分析：由于空气的阻力矩与角速度成正比，由转动定律可知转动是变角加速度转动，须从角加速度和角速度的定义出发，通过积分的方法求解。,4-18 如图示，一通风机的转动部分以初角速度 0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问（1）经过多小时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？,解 （
5、1）通风机叶片所受的阻力矩为M=C,由转动定律得,对上式分离变量，根据初始条件积分有,由于C和J均为常量，得,当角速度由00/2时，转动所需的时间为,在时间t内所转过的圈数为,（2）根据角速度定义和初始条件积分得（其中 ）,4-20一质量为m、半径为R的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度w 转动，若在某时刻，一质量为m的小碎块从盘边缘裂开，且恰好沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？破裂后圆盘的角动量为多大？,解(1) 碎块抛出时的初速度为,由于碎块竖直上抛运动，它所能到达的高度为,圆盘在裂开的过程中，系统角动量守恒，故有,式中,为圆盘未碎时的角动量；,为碎块被视为质点时，碎
6、块对轴的角动量；,L 为破裂后盘的角动量，则,4-21 在光滑的水平面上有一木杆,其质量m1=1.0kg,长l=40cm,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动.一质量为m2=10g的子弹,以v=2.0102ms-1的速度射入杆端,其方向与杆及轴正交.若子弹陷入杆中,试求所得到的角速度.,分析:,子弹与杆相互作用的瞬间,可将子弹视为绕轴的转动,这样,子弹射入杆前的角速度可表示为,子弹陷入杆后,它们将一起以角速度转动,若将子弹和杆视为系统, 系统的角动量守恒.由角动量守恒定律可解得杆的角速度.,解答:,根据角动量守恒定理:,式中 为子弹绕轴的转动惯量, 为子弹在陷入杆前的角动量, 为子弹在此刻绕轴的角
7、速度, 为杆绕轴的转动惯量.可得杆的角速度为:,4-24 一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 =s-1 转动，转台对转轴的转动惯量为J0 = 4.010-3 kgm2 。今有沙粒以Q = 2t gs-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 时，转台的角速度。,解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：,沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则任意时刻系统角动量守恒：,t = 10 s 时转台的角速度：,4-32 A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,A轮的转动惯量J1=10.0kg.m2,开始时B轮静止,A轮以n1=600r.min-1的转速转动,然后使A与B连接,因而B轮的到加速而A轮减速,直到两轮的转速都等于n=200r.min-1为止.求(1)B轮的转动惯量;(2)在啮合过程中损失的机械能.,解:,(1)取两飞轮为系统,因轴向力不产生转动力矩；据系统的角动量守恒,有,则B轮的转动惯量,(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.,
