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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,3.1 中值定理,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、罗尔定理,设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等,提问： f (x) ?,观察与思考,提示： f (x)0,下页,(2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是,因此必有f (x)=0,下页,简要证明,罗尔定理 如果函数yf(
2、x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)0,应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论有可能不成立,下页,罗尔定理 如果函数yf(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且有f(a)f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)0,例1 不求导数 判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根 以及其所在范围 （P134 第5题） 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在1 2 2 3上满足罗尔定理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f
3、(x1)=0 x1是 f (x)的一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x)的一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(1 2)及(2 3)内,首页,例2. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根（类似于 p134 第12题）,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,观察与思考 设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等,提问： 直线A
4、B的斜率k=? f (x)?,提示：,下页,直线AB的斜率,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,下页,直线AB的斜率,则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点x(a b) 使j (x)0 即,简要证明,由此得 f(b)f(a)f (x)(ba),下页,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,0,f(b)f(a)f (x)(ba) f(xD
5、x)f(x)f (xqDx)Dx (0q 1) Dyf (xqDx)Dx (0q 1),拉格朗日中值公式,下页,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,注：,dyf (x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f (xDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式,f(b)f(a)f (x)(ba) f(xDx)f(x)f (xqDx)Dx (0q 1) Dyf (xqDx)Dx (0q 1),拉格朗日中值公式,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内
6、至少有一点x 使得 f(b)f(a)f (x)(ba),拉格朗日中值定理,定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零 那么f(x)在区间I上是一个常数,证明 设f(x)ln(1x) 显然f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f (x)(x0) 0xx ,又由0xx 有,例3,首页,例4. (p134 6)证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,三、柯西中值定理,柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且
7、F (x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少有一点x 使得,下页,显然 如果取F(x)x 那么F(b)F(a)ba F (x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f (x)(ba) (axb) 这样就变成了拉格朗日中值公式了,柯西中值公式,分析:,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例5. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 )
8、内至少存在一点 ,使,即,证明,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 设辅助函数,思考与练习,1. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,2. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,1. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,2. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,作业,P134 8, 9,
