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1、2 合同变换法,1 二次型的标准形,2 标准形,平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？,问: 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,第五章 二次型 2 标准形,证明：,对二次型变量个数n作归纳法.,假定对n1元二次型结论成立. 下面考虑n元,一、二次型的标准形,线性替换化成平方和的形式.,定理1 数域P上任一二次型都可经过非退化,二次型,1、任意二次型的化简（配方法）,第五章 二次型 2 标准形,第五章 二次型 2 标准形,这里，,配方法,第五章 二次型 2 标准形,它是非退化的，,且使,第五章 二次型 2 标准形,使它变成
2、平方和,于是，非退化线性替换,由归纳假设，对 有非退化线性替换,第五章 二次型 2 标准形,就使 变成,第五章 二次型 2 标准形,不为零.,由情形1）知，结论成立.,则,这是一个 的二次型，且 的系数,第五章 二次型 2 标准形,这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立.,总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性,替换化成平方和的形式.,即,第五章 二次型 2 标准形,2、二次型的标准形的定义,所变成的平方和形式,注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.,2）可应用配方法得到二次型的标准形.,第五章 二次型 2 标准形,则,解：作非退化线性替换,第五章 二次型 2 标准形,或,最后令
3、,则,或,再令,第五章 二次型 2 标准形,所作的非退化线性替换是,即,则,第五章 二次型 2 标准形,定理2 数域P上任一对称矩阵合同于一个,证：对A的级数作归纳法.,假定对n1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，,分四种情形讨论：,使CAC为对角矩阵,即 若 AA ，则存在可逆矩阵,设,对角矩阵.,第五章 二次型 2 标准形,这里,这里,A1为n1级对称矩阵.,第五章 二次型 2 标准形,则,第五章 二次型 2 标准形,为对角矩阵.,由归纳假设，存在可逆矩阵G，使,为对角矩阵.,令,第五章 二次型 2 标准形,其中,归结为情形1，结论成立.,则,令,显然,2) 但有一个,第五章 二次型 2
4、 标准形,归结为情形1）.,则,第五章 二次型 2 标准形,为对角矩阵.,为对角矩阵.,由归纳假设，有n1级可逆矩阵G，使,令则,第五章 二次型 2 标准形,例2根据定理2，求例1中二次型的标准形.,令,第五章 二次型 2 标准形,令,令,第五章 二次型 2 标准形,为对角矩阵.,第五章 二次型 2 标准形,作非退化线性替换XCY，,则,即得 的标准形,第五章 二次型 2 标准形,另解: 取,取,取,第五章 二次型 2 标准形,则,第五章 二次型 2 标准形,二、合同的变换法,矩阵的第 i 列.,第五章 二次型 2 标准形,2. 合同变换法化二次型为标准形,又，,设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵,基本原理：,C, 使.,第五章 二次型 2 标准形,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,即相当于对A作s次合同变换化为对角矩阵D.,所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，,又注意到,所以,第五章 二次型 2 标准形,
